Πέμπτη, 30 Δεκεμβρίου 2010

Πόσα ψηφία χρειαζόμαστε για τους υπολογισμούς μας;






Ας θεωρήσουμε ότι γνωρίζουμε επακριβώς την ακτίνα της Γης και ότι αυτή ισούται με 6.400.000m ή 6.400km ή 6,4.106m. (Στην πραγματικότητα η ακτίνα της Γης στον Ισημερινό είναι 6,378.106 m, ενώ η ακτίνα της Γης στους πόλους είναι ίση με 6,357.106m).

Έχουμε λοιπόν:
R = 6,4.106 m.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Γ = 2.π.R ,

μπορούμε να βρούμε την περίμετρο της Γης (που για την ανάλυσή μας θεωρούμε σφαιρική, θεωρούμε δηλαδή ότι η πολική και η Ισημερινή της ακτίνα ταυτίζονται και ισούνται με 6,4.106m). Άν λοιπόν πάρουμε (για ευκολία) το π να είναι 3,14 βρίσκουμε:

Γ1= 2.π.R = 2.3,14.6,4.106m=40,192.106m

Χρησιμοποιώντας καλύτερη προσέγγιση για το π, δηλαδή παίρνοντας π=3,1415926536, βρίσκουμε:

Γ2= Γ= 2.π.R = 2.3,1415926536.6,4.106m=40,212.106m.

Έτσι οι δύο υπολογισμοί μας διαφέρουν κατά 20000m.(Αν σας φάινεται μεγά-λη η διαφορά των 20Km, στα περίπου 40000 Km σκεφτείτε ότι αντιστοιχεί σε σφάλμα 0,05%). Τώρα, ο υπολογισμός μας με τη χρησιμοποίηση 10 δεκαδικών ψηφίων του π , θα διαφέρει της αντίστοιχης με τα άπειρα δεκαδικά (ακριβης τιμή του π) το πολύ κατά 0,004m ,ή 4mm.
Η ακτίνα του Σύμπαντος υπολογίζεται ότι είναι: R = 4,4.1026 m (Δηλαδή το 44 ακολουθούμενο από 25 μηδενικά!).

Έτσι η περίμετρος του Σύμπαντος (θεωρούμενου Ευκλείδειου) θα είναι:

Γ = 2.π.R = 2,7632.1027 m (περίπου), αν πάρουμε π = 3,14

Τώρα άν χρησιμοποιήσουμε 38 δεκαδικά ψηφία του π, η περίμετρος του Σύμπαντος που θα βρούμε , θα διαφέρει από την αντίστοιχη με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία του π, το πολύ κατά 2,76.10-11 m, δηλαδή λιγότερο από την ακτίνα του μικρότερου ατόμου, του ατόμου του Υδρογόνου).


Γιάννης Φιορεντίνος

ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου