Τετάρτη, 28 Δεκεμβρίου 2011

10.000.000.000.000 ψηφία του π



Πριν από ένα χρόνο περίπου, στην ανάρτηση με τίτλο:
Δηλαδή είναι πολλά τα 5.000.000.000.000 ψηφία του π”,
 είδαμε ότι οι A. J. Yee και S. Kondo, είχαν καταγράψει τα πρώτα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία του π.
 Οι ίδιοι λοιπόν κυνηγοί ψηφίων του π “επανήλθαν” και ανακοίνωσαν ότι πλέον
 έχουν καταγεγραμμένα τα 10 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Για το επίτευγμά τους αυτό χρησιμοποίησαν, όπως οι ίδιοι αναφέρουν, το ίδιο σύστημα που είχαν χρησιμοποιήσει για το προηγούμενο ρεκόρ τους και απλά χρειάσθηκε να περιμένουν περισσότερο χρόνο.
        Το σύστημά τους, είχε τα παρακάτω χαρακτηριστικά, όπως αναφέρουν στην ιστοσελίδα τους:
Processor
2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded)
Memory
96 GB DDR3 @ 1066 MHz - (12 x 8 GB - 6 channels)
Motherboard
        Asus Z8PE-D12
Hard Drives
        1 TB SATA II (Boot drive)

        5 x 2 TB SATA II (Store Pi Output)

        24 x 2 TB SATA II (Computation) - various models

Raid Controller
         3 x LSI MegaRaid SAS 9260-8i
Operating System
         Windows Server 2008 R2 Enterprise x64

Built By
Shigeru Kondo

 






Δηλαδή είναι πολλά τα 10.000.000.000.000 ψηφία;
          Έχουμε ήδη αναφέρει ότι η χρήση και μόνον 38 δεκαδικών ψηφίων του π, μας εξασφαλίζει εξαιρετική ακρίβεια, ακόμα κι' αν αναφερόμαστε σε μεγέθη που αφορούν σε ολόκληρο το Σύμπαν. Από την άλλη μεριά,  είναι  ήδη γνωστά ( Οκτώβρης 2011) τα πρώτα 10 τρισεκατομμύρια (1013) ψηφία του π. Για να καταλάβουμε  το μέγεθος αυτό ας δούμε τα παρακάτω:
  1.  Αν εκφωνούσαμε 1 ψηφίο του π ανά sec, χωρίς διακοπή, θα θέλαμε:
                                   1013/(3,15.107)=317.460 χρόνια
           για να απαγγείλουμε όλα τα μέχρι τώρα γνωστά ψηφία του π.
      ii) Ας υποθέσουμε ότι αποφασίζουμε να καταγράψουμε όλα αυτά τα ψηφία, γράφοντας 50 ψηφία σε κάθε 10cm, (δηλαδή με πυκνότητα 5ψηφία/cm). Τότε η γραμμή που θα σχηματιζόταν θα είχε μήκος:
                               1013 /5 = 2.1012cm =2.1010m = 2.107 km  
                                  
     Αν αναλογισθούμε ότι η (μέση) απόσταση Γης – Σελήνης είναι περίπου 380000 km, καταλαβαίνουμε το τεράστιο μήκος που θα είχε αυτή η “ταινία” με τα καταγεγραμμένα ψηφία του π. (Πάνω από 52 φορές την απόσταση  Γης – Σελήνης).
       iii)  Αν αποφασίζαμε να “αποθηκεύσουμε”τον αριθμό σ' ένα σκληρό δίσκο, αυτός θά είχε μέγεθος της τάξης των 20ΤΒ (1ΤΒ = 240 bytes). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στη σχετική ιστοσελίδα: 

Round 2... 10 Trillion Digits of Pi

 http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html

(Οι κάτοχοι πάντως του ρεκόρ A. J. Yee  και  S. Kondo αναφέρουν ότι για την αποθήκευση των ψηφίων σε μορφή ασυμπίεστου ascii αρχείου, θα απαιτούντο  16,6 ΤΒ αποθηκευτικού χώρου).
     iv) Αν “κατεβάζαμε” τον αριθμό σ' έναν υπολογιστή τότε μετά το πάτημα του πλήκτρου “αποθήκευση”, θα έπρεπε να περιμένουμε (ανάλογα και με την ταχύτητα της σύνδεσης και  του μηχανήματος) πάνω από 40 μέρες μέχρι να ολοκληρωθεί η διαδικασία.

  Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (32)  Συνεχίζεται...

Δευτέρα, 19 Δεκεμβρίου 2011

16ος- 17ος Αιώνας (IV)



 Ένα αξιοσημείωτο γεγονός για την περίοδο στην οποία αναφερόμαστε είναι και το ότι ξεκινάει το ενδιαφέρον για την ιστορία του αριθμού π. Έτσι λοιπόν το 1559 κάνει την εμφάνισή του το βιβλίο:
 “De quadratura circuli”, του Johannes Buteo (1492-1572 μΧ). 
Στο βιβλίο αυτό, το πρώτο που διαπραγματεύεται την  ιστορία του π, μνημονεύονται οι προσπάθειες που έγιναν κατά την αρχαιότητα και τον μεσαίωνα για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Με την ιστορία του π ασχολήθηκε επίσης και ο φιλόλογος Joseph Scalinger (1540-1609 μΧ), στο βιβλίο του “Cyclometria Elementa”, που εξεδόθη το 1594. Στο συγκεκριμένο βιβλίο περιέχεται και ο εσφαλμένος ισχυρισμός του συγγραφέα, ότι εφ' όσον η περίμετρος ενός κανονικού δωδεκαγώνου υπερβαίνει την περίοδο του κύκλου, δεν υπάρχει λόγος να διπλασιάσει κανείς τις πλευρές για να προχωρήσει περαιτέρω...



       
             Στο τέλος του 16ου αιώνα τρεις ακόμα μαθηματικοί εφάρμοσαν την μέθοδο του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό των ψηφίων του π. Πρώτα ο Ολλανδός μαθηματικός Αντριάν Αντόνιτς, χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα, κατάφερε να αποδείξει ότι:
                                           377/120 > π >336/106
                                                                   ή
                                             3,14167 > π > 3,14151
    Περίπου οχτώ χρόνια μετά, ένας άλλος Ολλανδός μαθηματικός ο Αντριάν Ρομάνους, χρησιμοποιώντας ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο με περισσότερες από 100.000.000 πλευρές κατάφερε να υπολογίσει 15 δεκαδικά ψηφία του π.
       

     Τέλος ο Λούντολφ φαν Σόιλεν (Ludolph van Ceulen), αφιερώνοντας πολλά χρόνια από τη ζωή του κατάφερε να υπολογίσει είκοσι δεκαδικά ψηφία του διάσημου υπερβατικού αριθμού. Για το επίτευγμά του αυτό στηρίχθηκε στη μέθοδο του Αρχιμήδη, κάνοντας χρήση πολυγώνων με περισσότερες από 32.000.000.000 πλευρές το καθένα! Μέχρι το 1610 που πέθανε, ο φαν Σόιλεν είχε καταφέρει να υπολογίσει 35 ψηφία του π, στηριζόμενος στις ίδιες ιδέες και μεθόδους που χρησιμοποιούσαν οι μαθηματικοί επί δύο χιλιάδες χρόνια. Το κατόρθωμά του, υπήρξε αποτέλεσμα τεράστιας αντοχής και Ιώβειας υπομονής. Δέκα χρόνια όμως μετά τον θάνατο του φαν Σόιλεν, σημειώθηκε μια αλματώδης πρόοδος στον υπολογισμό του π.  Έτσι από ειρωνεία της τύχης, η μακρόχρονη κοπιώδης μελέτη του, έμοιαζε τελικά μόλις δέκα χρόνια μετά την εμφάνισή της εντελώς παρωχημένη.







         




Βιβλιογραφία - Αναφορές
   1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001               
       
      2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
                                          


   Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (31)  Συνεχίζεται...


Σάββατο, 5 Νοεμβρίου 2011

16os -17os αιώνας (ΙΙΙ)


Με τον τετραγωνισμό του κύκλου, χωρίς όμως να συνεισφέρει στον υπολογισμό του π,
ασχολήθηκε και ο διάσημος ζωγράφος της αναγέννησης Albrecht Dürer (1471-1528). 

 Ενδιαφερόταν κυρίως για την προοπτική και τις αναλογίες στους πίνακες του
και έτσι ασχολήθηκε ερασιτεχνικά με τη γεωμετρία.
Στο έργο του “Underweysung der messung mit dem zirckel und rictsheyt ”
 (“οδηγίες για τη μέτρηση με κανόνα και διαβήτη),
χρησιμοποιεί για τον αριθμό π, την τιμή π=3 και1/8,
δηλαδή την τιμή των Βαβυλωνίων.


Στην περίοδο που εξετάζουμε, η σημαντικότερη πρόοδος σε ότι αφορά τον υπολογισμό του π, οφείλεται στον Francois Viete (1540-1603).

O Viete, δικηγόρος στο επάγγελμα υπήρξε παράλληλα και σπουδαίος ερασιτέχνης μαθηματικός. Συνεισέφερε σημαντικά σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, όπως η Άλγεβρα, η Γεωμετρία, η Αριθμητική και η Τριγωνομετρία. Οι όροι “αρνητικός” και “συντελεστής”, οφείλουν την ονομασία τους στον Viete. Στις μελέτες του για τον υπολογισμό του π, βασίσθηκε στη μέθοδο του Αρχιμήδη και με κάποιες δικές του αλλαγές κατέληξε στην ακριβέστερη μέχρι την εποχή του τιμή για το π. [1]

Πιο συγκεκριμένα το 1579 ο Viete βρήκε για το π την προσέγγιση:

3,1415926535 < π < 3,1415926537

Για να το κατορθώσει, διπλασίασε τις πλευρές δύο εξαγώνων δεκαέξι φορές και υπολόγισε τις περιμέτρους εξάγωνων με 393.216 πλευρές το καθένα. Παρά το γεγονός ότι η τιμή που βρήκε για το π είναι ακριβής μέχρι 10 δεκαδικών ψηφίων, δεν θεωρείται το σπουδαιότερο επίτευγμα του. [2]
Το πραγματικό κατόρθωμα του Φρανσουά Βιετ ήταν το γεγονός ότι περιέγραψε το π μέσω ενός απειρογινομένου. Αυτό το επιτυγχάνει το 1593 στο βιβλίο του “Variorum de Rebus Mathematicis Resonsorum, Liber VIII (Διάφορα Μαθηματικά προβλήματα, τόμος 8). (Για περισσότερες πληροφορίες ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στην αναφορά [1]).
Σχέση του Viete για το π


 

Από την εργασία: Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

Ο Βιετ λοιπόν, όπως και πολλοί άλλοι σύγχρονοί του, χρησιμοποίησε τα αρχαία Ελληνικά μαθηματικά σε συνδυασμό με την Αραβική Άλγεβρα και την Τριγωνομετρία. Έτσι ενώ βασίσθηκε στην Αρχιμήδεια μέθοδο, κατάφερε να την εμπλουτίσει και να την εξελίξει κάνοντας χρήση της άλγεβρας και της τριγωνομετρίας. Γίνεται ο πρώτος που καταφέρνει να περιγράψει το π μέσω ενός απειρογινομένου. Δεν γνώριζε την έννοια της “σύγκλισης” και δεν τον απασχόλησε αν και κατά πόσο η άπειρη ακολουθία του συγκλίνει. Το ότι το απειρογινόμενο του Βιετ συγκλίνει, για πρώτη φορά αποδείχθηκε το 1891 από τον F. Rudio.

Βιβλιογραφία - Αναφορές
      1. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
      2. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001 
      3. Άρθρο της Wikipedia: Francois Viete
                          4. Ο τύπος του Viet για το π.
                                            Γιάννης  Φιορεντίνος       ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική        (30)  Συνεχίζεται...

Τρίτη, 11 Οκτωβρίου 2011

16os-17oς αιώνας (ΙΙ)


Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνταν στην Αλεξάνδρεια ήδη από την εποχή του Πτολεμαίου. Στην περίοδο όμως της Αναγέννησης υπήρχαν  πλέον διαθέσιμοι προς χρήση , διάφοροι πίνακες τιμών των συναρτήσεων αυτών. Αυτό κυρίως χάρις στο έργο των διάσημων αστρονόμων, όπως ο Nicolas Copernicus (1473-1543 μ. Χ.)




και ο Johannes Kepler (1571-1630 μΧ) [1]
                                  



Στην περίοδο της αναγέννησης, έζησε και ο πολύ γνωστός για τη μεγαλοφυΐα  του αλλά και την τεράστια προσφορά του σε πολλούς τομείς, Leonardo da Vinci (1452-1519).




O Leonardo, υπήρξε πολυγραφότατος και στο τεράστιο έργο του αναφέρεται δύο τουλάχιστον φορές στον τετραγωνισμό του κύκλου. Σε ότι αφορά όμως το π, η συνεισφορά του δεν υπήρξε ιδιαίτερα σημαντική.[1]
                                      
 

Ο τρόπος που πρότεινε ο Leonardo για τον υπολογισμό του εμβαδού του κύκλου έχει ως εξής : «πάρε έναν τροχό σε σχήμα κυλίνδρου του οποίου το ύψος να είναι ίσο με το μισό της ακτίνας της βάσης του. Κάνε μια πλήρη περιστροφή και το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που αφήνει πίσω του θα είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου της βάσης του». 
Όμως στο αυθεντικό κείμενό του, ο Λεονάρδο αναφέρεται σε ημιδιάμετρο [και όχι στο μισό της ακτίνας] κάτι που προφανώς είναι λάθος.  [1]




Βιβλιογραφία - Αναφορές
    1. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή1 Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
2. Εγκυκλοπαίδεια Wikipedia
 


Γιάννης  Φιορεντίνος      
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική 
      (29)  Συνεχίζεται...

Σάββατο, 17 Σεπτεμβρίου 2011

16os-17oς αιώνας


Στη διάρκεια του μεσαίωνα και μέχρι την Αναγέννηση, τα Ευρωπαϊκά μαθηματικά, για τους λόγους που έχουν ήδη αναφερθεί, υστερούσαν σε σχέση με τα αντίστοιχα του μουσουλμανικού κόσμου. Με την είσοδο της Ευρώπης στην Αναγέννηση, τα μαθηματικά άρχισαν να καλύπτουν το “χαμένο έδαφος”, έτσι ώστε από τον 17ο  αιώνα και μετά οι επιστημονικές εξελίξεις στην Ευρώπη, άφησαν πίσω (και μάλιστα κατά πολύ) τον υπόλοιπο κόσμο. [1]
        Ειδικότερα σ΄ ότι αφορά το π, η πρόοδος  που έγινε στη διάρκεια της Αναγέννησης, έχει κατά κύριο λόγο να κάνει με την ακρίβεια των δεκαδικών ψηφίων του διάσημου υπερβατικού αριθμού. Η βασική μέθοδος έρευνας εξακολουθούσε να στηρίζεται στα κανονικά πολύγωνα (μέθοδος Αρχιμήδη). Όμως οι διάφοροι ερευνητές είχαν πλέον στη διάθεσή τους το Αραβικό σύστημα αρίθμησης, τα δεκαδικά κλάσματα, τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τους λογαρίθμους. [1]
         Στα μαθηματικά, λογάριθμος ενός αριθμού ως προς ένα άλλο αριθμό (βάση) χαρακτηρίζεται   ο εκθέτης στον οποίο θα πρέπει να υψωθεί η συγκεκριμένη βάση προκειμένου να δώσει αυτόν τον αριθμό.
Ο λογάριθμος, με διεθνή συντομογραφία log, με βάση το b ενός αριθμού x γράφεται logb(x) και ορίζεται ως ο αριθμός y που ικανοποιεί την εξίσωση
x= b^y:


          
αν και εφόσον ισχύει:   x=y^b

Για παράδειγμα, ο λογάριθμος με βάση 3 του 81 είναι 4:

               3^4=81 , οπότε:            

Η βάση b πρέπει να είναι διαφορετική από 0 και 1 και συνήθως είναι 10, e ή 2 . Ο συμβολισμός "ln(x)" σημαίνει πάντα  

και ονομάζεται φυσικός ή και Νεπέριος λογάριθμος.
O αριθμός e (στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά  "ε") είναι ένας άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός του Όυλερ (Euler) ή σταθερά του Ναπιέρ. Eίναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά.

         Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι:

           e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

(Από την Wikipedia)


  Οι λογάριθμοι ανακαλύφθηκαν στις αρχές του δέκατου έβδομου αιώνα από τον

John Napier (Σκωτζέζο ευγενή και ερασιτέχνη μαθηματικό, 1550-1617 μ.Χ.) και

τον Ελβετό ωρολογοποιό Jobsst Burgi. Η γνώση των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων διευκόλυνε κατά πολύ τον υπολογισμό του π, μέσω της μεθόδου του Αρχιμήδη και των παραλαγών της.
               

          
             Γιάννης  Φιορεντίνος
      ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
      (28)  Συνεχίζεται...


Τρίτη, 23 Αυγούστου 2011

Ευρωπαϊκός Μεσαίωνας



Στην περίοδο αυτή, εκτός από τις προσπάθειες του Leonardo, δεν υπάρχουν και πολλές άλλες αξιόλογες προσπάθειες.

Έτσι ο Gerbert (πιο γνωστός ως πάπας Συλβέστρος), χρησιμοποιούσε για το π την τιμή:

π=22/7=3,14286 (Αρχιμήδης).

Στα επόμενα 400 χρόνια εκτός της “Αρχιμήδειας” τιμής για το π συναντάμε επίσης τις τιμές:

π=3+1/8 (Βαβυλωνιακή) και

π=(16/9)^2 (Αιγυπτιακή) [1]

Κατά τον μεσαίωνα λοιπόν δεν υπήρξε ιδαίτερη ανάπτυξη των μαθηματικών (όπως άλλοστε και των υπόλοιπων επιστημών) και ούτε σημειώθηκε κάποια τροποποίηση ή βελτίωση σε ότι αφορά τον αριθμό π. Έτσι λοιπόν για παράδειγμα:

Ο Franco von Lutich, σε μια πραγματεία που έγραψε γύρω στα 1040 μΧ. υπέπεσε σε λάθος στον τετραγωνισμό του ορθογωνίου. [1]

Ο Albert von Sachsen (1316-1390 μΧ) αναφέρει για τον λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο ότι ισούται ακριβώς με 22/7. [1]

Ο Dominicus Parisiensis (περίπου 1346 μΧ) διαφοροποιείται από τους προκατόχους του αναφέροντας ότι η τιμή 22/7 είναι προσεγγιστική και όχι ακριβής. [1]

Ο Georg von Peuerbach (1423-1461 μΧ) γνώριζε αρκετά από την Ελληνική και την υπόλοιπη ιστορία του π και ανέφερε ότι για το π ισχύει:

π > 22/7.

Γνώριζε την τιμή του Πτολεμαίου:

π=337/120

καθώς επίσης και την Ινδική τιμή για το π:

π=sqrt(10). [1]


O Regiomontanus (Johannes Muller von Konigsberg 1436-1476 μΧ) ήταν γερμανός μαθηματικός, αστρονόμος, αστρολόγος, μεταφραστής και κατασκευαστής οργάνων. Υπήρξε μαθητής και φίλος του Georg von Peuerbach. [1]



Regiomontanus



Ο Nicolas Cusanus (1401-1464 μΧ), είχε μια όχι και τόσο επιτυχημένη συνεισφορά στον υπολογισμό του π, προσπαθώντας να ερμηνεύσει τα διάφορα επιστημονικά θέματα με θεολογικό τρόπο, κατάφερε όμως να ανακαλύψει μια καλή προσέγγιση για το μήκος κυκλικού τόξου (με μια μέθοδο που μπορεί να χαρακτηρισθεί ως “αντίστροφη” της μεθόδου του Αρχιμήδη). Για λεπτομέρειες: [1]

Nicholas of Cusa




Βιβλιογραφία - Αναφορές

1. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
                   


      Γιάννης  Φιορεντίνος
      ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
      (27)  Συνεχίζεται...

Δευτέρα, 18 Ιουλίου 2011

O Λεονάρδος της Πίζας (Leonardo Pisano ή Fibonacci)


O Leonardo Pisano Bigollo (1170-1250 μ.Χ.), γνωστός επίσης και ως Λεονάρδος της Πίζας (Leonardo Pisano) , ή Leonardo Bonacci, ή Leonardo Fibonacci, ή απλούστερα Fibonacci, ήταν ένας Ιταλός μαθηματικός που από πολλούς θεωρείται ως ο πιο προικισμένος μαθηματικός της Δύσης, κατά τον Μεσαίωνα. Έμεινε στην ιστορία για την εισαγωγή στην Ευρώπη του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και άλλων σπουδαίων καινοτομιών (ιδιαίτερα σε μια τόσο σκοτεινή εποχή για την Ευρώπη), αλλά κυρίως για την περίφημη ακολουθία του, την ακολουθία Fibonacci. [1]

Ήταν γιος του Ιταλού διπλωμάτη Γκιγιέρμο Μπονάτσι (Bonacci σημαίνει απλός), γι' αυτό και το πατρώνυμό του είναι το Φιμπονάτσι, δηλαδή γιος του Μπονάτσι (φίλιους Μπονάτσι). Ο ίδιος χρησιμοποιούσε και το όνομα Μπίγκολο, που σημαίνει “πολύ για το τίποτα” ή ταξιδιώτης. Το 1202 σε ηλικία 32 ετών συνέγραψε το έργο Liber Abacci (βιβλίο των υπολογισμών), με το οποίο συνέβαλε στην καθιέρωση των αραβικών αριθμών στην Ευρώπη και παρουσίασε ένα “νέο” πρόβλημα από το οποίο οδηγήθηκε στην περίφημη ακολουθία για την οποία είναι γνωστός. Στο έργο του αυτό αποδείκνυε την “πρακτικότητα” του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης στην τήρηση εμπορικών και λογιστικών βιβλίων, στις διάφορες χρηματικές συναλλαγές, στις μετατροπές μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό τόκων κλπ. Το βιβλίο αυτό αν και επηρρέασε θετικά τους λόγιους της Ευρώπης δεν έκανε γνωστό στο ευρύ κοινό το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, τουλάχιστον μέχρι την εφεύρεση της τυπογραφίας. [1]

Σε ότι αφορά το π, ο Fibonacci χρησιμοποίησε ένα κανονικό 96-γωνο, κατ΄αναλογία προς τον Αρχιμήδη, όπου όμως μπορούσε να υπολογίζει ευκολότερα τις τετραγωνικές ρίζες (με το νέο σύστημα αρίθμησης, δηλαδή το δεκαδικό). Στο έργο του Practica Geometriae που εξέδωσε το 1220, παρ΄ότι δεν ήταν το ίδιο “αυστηρός” με τον Αρχιμήδη στους υπολογισμούς, βρήκε πιο ακριβή αποτελεσματα από αυτά του μεγάλου Έλληνα σοφού. Πιο συγκεκριμμένα, βρήκε για το π την τιμή:

1440/(458+4/9) < π < 1440/(458+1/5),

με μέση τιμή για το π:

π = 864/275 = 3,141818,

δηλαδή τιμή που έχει σωστά τρία δεκαδικά ψηφία και που είναι μόλις κατά 0,0001 ακριβέστερη από την τιμή του Αρχιμήδη. [2]


Το έργο (Practica Geometriae), ήταν αφιερωμένο στον Dominicus Hispanus. Περιείχε ένα πλήθος γεωμετρικών προβλημάτων, ταξινομημένων σε 8 κεφάλαια , με θεωρήματα, που ήταν κυρίως βασισμένα στα στοιχεία του Ευκλείδη και (πιθανόν) στην αραβική εκδοχή της “διαίρεσης σχημάτων” του Ευκείδη, που έχει χαθεί. [1]

Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το εξής πρόβλημα:

Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο απο το αρχικό ζεύγος;
Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ο Φιμπονάτσι παρέλειψε τον πρώτο όρο στο Liber abaci). Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη. Το The Fibonacci Quarterly είναι ένα περιοδικό που είναι αφοσιωμένο στη μελέτη των μαθηματικών των σχετικών με την ακολουθία.
Επίσης αξίζει να σημειωθεί πως ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον γνωστό "χρυσό λόγο" που είναι ίσος με τον άρρητο αριθμό φ=1,61803...(φ προς τιμήν του Έλληνα γλύπτη Φειδία). Όπως παρατηρείτε: 2/1=2 , 3/2=1.5 , 5/3=1,666... , 8/5=1.6 , 13/8=1.625 , 21/13=1.615... , ... , 10946/6765=1,61803... , ... [1]
 



Βιβλιογραφία - Αναφορές

2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

3. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(26)  Συνεχίζεται...



Τρίτη, 28 Ιουνίου 2011

Tέλος της πρώτης - αρχή της δεύτερης χιλιετίας


 
Έτσι στο τέλος της πρώτης χιλιετίας μετά Χριστόν, η επιστήμη των Αράβων είχε διαδοθεί στα δυτικά, κατά μήκος της βορειοαφρικανικής ακτής ως τα εδάφη των Μαυριτανών, οι οποίοι είχαν πλέον κατακτήσει το μεγαλύτερο μέρος της Ισπανίας. Η επιστήμη αυτή περιείχε ενσωματωμένο το έργο των αρχαίων Ελλήνων, των Εβραίων και των Ινδών. [1]

Στις αρχές λοιπόν της δεύτερης χιλιετίας, τα διάφορα ευρωπαϊκά κείμενα τα οποία είχαν διασωθεί στα αραβικά, άρχισαν να “επαναπατρίζονται” από την Μέση Ανατολή στην Ευρώπη. Η τάση αυτή ενισχύθηκε:

    1. Από το πρωτοεμφανιζόμενο ενδιαφέρον των Ευρωπαίων για τα Μαθηματικά
    2. διάφορες πλατιά διαδεδομένες την εποχή εκείνη αντιλήψεις για την αστρολογία, που κίνησαν το ενδιαφέρον για τη Φυσική και τα Μαθηματικά
    3. Από το γεγονός ότι είχε πλέον καταστεί σαφές ότι η επιστημονική γνώση μπορούσε να γίνει πηγή εξουσίας και δύναμης για όσους την κατείχαν.
      Το 1085 τα στρατεύματα της Καστίλης με βασιλιά τον Αλφόνσο τον ΣΤ' πολιορκούν και καταλαμβάνουν το Τολέδο. Η πόλη κατόπιν οχειρώνεται ακόμη περισσότερο και μετατρέπεται σε ένα από τα σπουδαιότερα πολιτιστικά κέντρα της εποχής. Στο Τολέδο συμβιώνουν αρμονικά τρες λαοί , τρεις διαφορετικές θρησκείες και τρεις πολιτισμοί (Άραβες, Εβραίοι , Χριστιανοί). Ο Αλφόνσος ο ΣΤ' φρόντισε ώστε τα διάφορα αραβικά, ελληνικά και εβραϊκά έργα να μεταφρασθούν στα λατινικά. Με τον τρόπο αυτό βοήθησε στην “επαναεισαγωγή” στην Ευρώπη των σπουδαίων έργων των Αρχαίων Ελλήνων διανοητών, όπως πχ. του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Επίσης οι σταυροφόροι επιστρέφοντας από τις (χριστιανικές) σταυροφορίες μεταξύ του 11ου και 13ου αιώνα, μαζί με τα διάφορα λεηλατημένα λάφυρα , έφεραν και πολλά βιβλία και θεωρίες. [1]

Κάστρο του Τολέδο

Ανώτεροι κληρικοί της καθολικής εκκλησίας ανέλαβαν, συντόνισαν και χρηματοδότησαν μια τεράστια επιχείρηση μετάφρασης των Αραβικών έργων στα λατινικά. Και τούτο βασικά διότι είχαν την άποψη:

για να αρνηθούμε το μουσουλμανικό δόγμα πρέπει προηγουμένως να το γνωρίσουμε”.

Αναπτύχθηκε λοιπόν μια πρωτοφανής επιχείρηση “οικειοποίησης” της γνώσης των Αράβων.


Πιο συγκεκριμένα:

(στοιχεία από την παρουσίαση: Η αφύπνιση της Δυτικής Ευρώπης του Ν. Καστάνη).

    1. Ο Αδελάρδος του Μπαθ [Adelard of Bath,1075-1164] μετάφρασε από τα Αραβικά τα στοιχεία του Ευκλείδη, τη μέτρηση του κύκλου του Αρχιμήδη, τους αστρονομικούς χάρτες του Αλ-Χουαρίζμι και την Αλμαγέστη του Πτολεμαίου.

Αδελάρδος του Μπαθ


2. Ο Ιωάννης της Σεβίλης [John of Seville, about 1125], μετάφρασε (πιθανόν) από τα Αραβικά την Αριθμητική του Αλ-Χουαρίζμι.

3. Ο Πλάτωνας του Τίβολι [Plato of Tivoli, about 1125], μετάφρασε το βιβλίο των Εμβαδών του Ισπανο-Εβραίου Αβραάμ Μπαρ Χίγια

4 Ο Τζεράρντ από την Κρεμόνα [Girard of Cremona, 1114-1187) μετάφρασε από τα Αραβικά , τα στοιχεία του Ευκλείδη, την Άλγεβρα του Αλ-Χουαρίζμι και την Πρακτική Αριθμητική του Αμπού Μπακρ

5. Ο Χέρμαν από την Καρίνθια [Herman of Carinthia, 1100-1160) μετάφρασε από τα Αραβικά τα στοιχεία του Ευκλείδη και την Επιπεδόσφαιρα του Πτολεμαίου. 

6. Ο Ρόμπερτ από το Τσέστερ [Robert of Chester, about 1150] μετάφρασε από τα Αραβικά τα στοιχεία του Ευκλείδη και τους Αστρονομικούς πίνακες του Αλ-Χουαρίζμι. [2]


Βιβλιογραφία - Αναφορές

1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001

2. Η αφύπνιση της Δυτικής Ευρώπης (παρουσίαση σε Power point, από τον Ν. Καστάνη).




Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(25)  Συνεχίζεται...