Κυριακή, 11 Νοεμβρίου 2012

Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς


Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (Gottfried Wilhelm Leibnitz), που γεννήθηκε την 1 Ιουλίου 1646 στη Λειψία και πέθανε στις 14 Νοεμβρίου 1716 στο Αννόβερο, ήταν Γερμανός φιλόσοφος και επιστήμονας, μαθηματικός, διπλωμάτης, φυσικός, ιστορικός, βιβλιοθηκονόμος και διδάκτορας της Νομικής. Ο Λάιμπνιτς  θεωρείται ως το καθολικό πνεύμα της εποχής του (homo universalis): έχει αποκληθεί «ο πολυμαθέστερος άνδρας μετά τον Αριστοτέλη»).  (Πηγή: Wikipedia)

Τρία χρόνια περίπου μετά την σειρά του τόξου εφαπτομένης του Gregory, δηλαδή τη σειρά:
                           (1)


ο μεγάλος Γερμανός Μαθηματικός και Φιλόσοφος Gottried Wilhelm Leibniz (1646-1716), διατύπωσε την ίδια σειρά τόξου εφαπτομένης και στη δημοσίευσή της το 1682, εισάγοντας στη σειρά την τιμή 1 για το x, έδωσε για το π/4 την σειρά:

 (2)



από την οποία εύκολα βλέπει κανείς ότι:

(3)


Η σειρά λοιπόν των Gregory-Leibniz, παρά την εντυπωσιακή απλότητά της και παρά την πληροφόρηση που μας παρέχει για το π, στην ουσία είναι άχρηστη σ' ότι έχει να κάνει με τον υπολογισμό των ψηφίων του π. Αυτό γιατί η σειρά συγκλίνει εξαιρετικά αργά. Έτσι για τον υπολογισμό μόνο δύο δεκαδικών ψηφίων του π, απαιτούνται 300 όροι της σειράς, ενώ πρέπει να υπολογίσει κανείς αρκετές χιλιάδες ή και εκατομμύρια όρους για να αποκτήσει η σειρά κάποια χρησιμότητα.

Η σχέση (3), γράφεται επίσης:
  

      
       Για n = 300, παίρνουμε την τιμή:
π =3,14491,
η οποία είναι “χειρότερη” από την προσέγγιση 3 και 1/7 του Αρχιμήδη.


      Για n = 1000, προκύπτει η τιμή:
π= 3,14259

      Ενώ τέλος για n =1000000 όρους, έχουμε :
π=3,1416

(Να θυμηθούμε ότι: π = 3,141592653...)

           Προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι ο Gregory δεν προσπάθησε να κάνει την αντικατάσταση x =1 στη σειρά του, έτσι ώστε να οδηγηθεί στον απλό τύπο (3) για το π. Πουθενά δεν χρησιμοποιεί ένα τέτοιο υπολογισμό. Μάλλον όμως θα πρέπει να θεωρηθεί απίθανο να μην είχε παρατηρήσει την συγκεκριμένη εφαρμογή, με δεδομένο μάλιστα ότι είχε ασχοληθεί με την υπερβατικότητα του π. Είναι πολύ πιθανό να είχε παρατηρήσει ότι η σειρά του συγκλίνει πολύ αργά, ο ίδιος άλλωστε είχε εισάγει την έννοια της σύγκλισης. Έτσι λοιπόν είναι πολύ πιθανό να θεώρησε ότι δεν άξιζε τον κόπο να κάνει την συγκεκριμένη αναφορά.

            Λίγα Μαθηματικά:

         Από τα μαθήματα της τριγωνομετρίας στο Λύκειο γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη των 45 μοιρών είναι ίση με την μονάδα. Επίσης, μια “πλήρης” γωνία αντιστοιχεί σε 360 μοίρες ή 2π ακτίνια. Έτσι λοιπόν οι 45 μοίρες αντιστοιχούν σε π/4 ακτίνια. Επομένως στη σχεση (1), βάζοντας x = 1 έχουμε ότι: arctan(1) = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... Επίσης  arctan(1) = π/4. Οπότε τελικά: π/4 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... 



Βιβλιογραφία - Αναφορές

    David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001              
 http://www.thefullwiki.org/Archimedes
       
       Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf


Γιάννης  Φιορεντίνος      


 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  


      (38)  Συνεχίζεται...


Παρασκευή, 6 Ιουλίου 2012

17ος -18ος Αιώνας (ΙΙ)


Στη διάρκεια του δέκατου έβδομου αιώνα έζησαν και πολλοί άλλοι σπουδαίοι μαθηματικοί, όπως ο Blaise Pascal, o Johannes Kepler, o Bonaventura Cavalieri, o Pierre de Fermat, οι οποίοι εκτός των άλλων συνεισφορών τους πλησίασαν αρκετά τις ιδέες του επερχόμενου απειροστικού λογισμού.














Ένας ακόμη μαθηματικός που συνεισέφερε σημαντικά στη διερεύνηση του π αλλά και στην εξέλιξη του απειροστικού λογισμού είναι και ο James Gregory (1638-1675). Πριν τον πρόωρο θάνατό του (το 1675 σε ηλικία μόλις 36 ετών), βρήκε μια απλή και έξυπνη λύση για τον υπολογισμό του τόξου της εφαπτομένης [τοξεφ(χ) ή arctan(x)], δηλαδή τη σειρά του τόξου εφαπτομένης, που φέρει και το όνομά του:

(1)
(σειρά του Gregory)

O Gregory ανακάλυψε ότι το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/(1+χ^2) , στο διάστημα (0,1) είναι ίσο με τοξεφ(χ) ή arctan(x). Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cavalieri κατέληξε στη φερώνυμη σειρά του για το τοξεφ(χ).Βρήκε δηλαδή αυτό που σήμερα γράφουμε ως:

(2)
g

Η σειρά λοιπόν (1) του Gregory διατυπώθηκε το 1671 και σήμανε την απαρχή μιας νέας εποχής για τον υπολογισμό του π. Τη σχέση έχει όμως η εν λόγω σειρά με το π; Η απάντηση είναι πολύ απλή. Αν θέσουμε x=1, τότε έχουμε: τοξεφ(1) = π/4. Έτσι λοιπόν η σειρά (1), για x = 1, δίνει:

(3)


Η σειρά (3) αποτελεί και την πρώτη απειροσειρά που βρέθηκε για το π. Όσο κι αν φαίνεται παράξενο, ο ίδιος ο Gregory δεν έκανε ποτέ την αντικατάσταση x = 1 και έτσι δεν χρησιμοποιεί πουθενά αυτόν τον υπολογισμό του π. Η εφαρμογή της σειράς (1) του Gregory για x = 1 (σχέση 3), έγινε από τον Leibniz στα 1674 και δημοσιεύθηκε το 1682 και γι αυτό η σειρά (3) ονομάζεται σειρά του Leibniz. Ενδεχομένως ο Gregory να είχε παρατηρήσει το πόσο πολύ αργά συγκλίνει η σειρά του και γι αυτό να μην θεώρησε σκόπιμο να την χρησιμοποιήσει για την εύρεση του π. (Ο ίδιος είχε εισάγει την έννοια της σύγκλισης). Για να αντιληφθούμε το πόσο αργά συγκλίνει η εν λόγω σειρά αρκεί να σκεφτούμε ότι ακόμα και για τον προσδιορισμό των δύο πρώτων δεκαδικών ψηφίων του π απαιτούνται 300 όροι της σειράς (Και να φαντασθεί κανείς ότι η τιμή 3,14 είναι λιγότερο ακριβής της τιμής 3 και 1/7 το Αρχιμήδη).
Ο Thomas De Lagny, ο οποίος υπολόγισε 117 ψηφία του π, ανέφερε ότι για τον υπολογισμό 100 δεκαδικών ψηφίων του π θα απαιτούνταν πάνω από 10^50 (1 ακολουθούμενο από 50 μηδενικά) όροι της σειράς! Έτσι λοιπόν παρ όλη την ομορφιά και την απλότητά της η σχέση (3) είναι στην ουσία άχρηστη για τον υπολογισμό των ψηφίων του π.



Βιβλιογραφία - Αναφορές

David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001
  Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf


Γιάννης  Φιορεντίνος      


 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  


      (37)  Συνεχίζεται...


Σάββατο, 5 Μαΐου 2012

17os-18oς αιώνας.


Τα 300 περίπου χρόνια που μεσολάβησαν ανάμεσα στην Αναγγέννηση και την Βικτωριανή εποχή, ήταν μια λαμπρή περίοδος για τα μαθηματικά. Αναφερθήκαμε ήδη στις επίμονες και επίπονες προσπάθειες του Van Ceulen στις αρχές του 17ου  αιώνα για την εύρεση όσο το δυνατόν περισσότερων ψηφίων του π.  Στη συνέχεια, μαθηματικοί όπως ο Viete, o Snellius και ο Huygens έστρεψαν το ενδιαφέρον τους από το κυνήγι περισσότερων ψηφίων στην εύρεση αποτελεσματικότερων τρόπων για τον υπολογισμό του αριθμού π. Ο  Snellius και ο Huygens υπήρξαν οι (δύο) τελευταίοι μαθηματικοί που χρησιμοποίησαν την μέθοδο του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του π.  [2]
          



   Ένας Άγγλος, σύγχρονος του  Huygens, ο John Wallis (1616-1703), o  οποίος ήταν μαθηματικός και κρυπτογράφος, εισήγαγε μια νέα μέθοδο για τον υπολογισμό του εμβαδού του κύκλου: Χρησιμοποιώντας απείρως μικρά ορθογώνια, προσπάθησε να προσεγγίσει το εμβαδόν ενός τεταρτοκυκλίου. Θεωρείται ότι είναι αυτός που πρώτος εισήγαγε το σύμβολο ∞ για το άπειρο.
 Την εποχή του Wallis δεν είχε ακόμη επινοηθεί ο απειροστικός λογισμός και έτσι δεν υπήρχαν διαθέσιμα τα απαραίτητα εργαλεία (ταυτότητες, σύμβολα κλπ). Παρ' όλα αυτά, μετά από επίμονη και κοπιώδη προσπάθεια, στα 1655 και στο έγο του “Arithmetica Infinitorum”, κατάφερε να διατυπώσει τον τύπο, που φέρει το όνομά του:






 Η σχέση του Wallis, όπως προηγoυμένως του Βιετ, είναι ένα γινόμενο άπειρων όρων (απειρογινόμενο), με τη διαφορά ότι ενώ στον τύπο του Βιετ εμφανίζονται (πολύπλοκες) τετραγωνικές ρίζες, σ΄αυτόν του Ουόλις υπάρχουν πράξεις μόνο μεταξύ ρητών αριθμών. Εκτός από αυτό ο τύπος του Ουόλις είναι ενδιαφέρων διότι συγκλίνει αργά προς το π. Ο πρώτος όρος είναι μεγαλύτερος (του π/2), ο δεύτερος μικρότερος, ο τρίτος και πάλι μεγαλύτερος κοκ. [1],[2].




Ο Viscount Brouncker (1620-1684) υπολόγισε μια τιμή για το π με την βοήθεια συνεχών κλασμάτων. Ο τύπος του, ισοδύναμος με αυτόν του Wallis, ήταν:




    
        Το συνεχές κλασμα παίρνει διαδοχικά τις τιμές:
1,  3/2,  15/13,   105/76,   945/789
     Δεν είναι  γνωστό πως κατέληξε στον τύπο του ο Brouncker. Ο Wallis απέδειξε την ισοδυναμία του τύπου του Brouncker με τον δικό του τύπο, μέσα από μια πολύπλοκη απόδειξη που μάλλον δεν πρέπει να ήταν ο δρόμος που ακολούθησε ο Brouncker. Αργότερα στα 1775, τον τύπο απέδειξε και ο διάσημος Ελβετός μαθηματικός Leonard Euler. [2]

Βιβλιογραφία - Αναφορές

  1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001            

        2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf


Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (36)  Συνεχίζεται...




Δευτέρα, 26 Μαρτίου 2012

16oς-17ος αιώνας (VΙ)


  Τρία χρόνια μετά τον θάνατο του Snell ( Willebrord Snellius 1580-1626), γεννήθηκε ο Cristian Huygens (1629-1695). O Huygens, όπως και ο Snell ήταν Ολλανδός ενώ όπως και ο Viete, σπούδασε νομικά. Μέχρι την ηλικία των 20 ετών δεν ασχολήθηκε με τα μαθηματικά. Αργότερα όμως στράφηκε με μεγάλο πάθος προς τα μαθηματικά. Έτσι το 1654 στο έργο του: “De circuli magnitudine inventa”, o Huygens κατάφερε να αποδείξει, εκτός των δύο θεωρημάτων του Snell και άλλα 14 ακόμη θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.



                                                          Cristian Huygens (1629-1695)



Βελτίωσε σημαντικά τη μέθοδο προσέγγισης του π, ώστε εγγράφοντας ένα τρίγωνο σε κύκλο, ήταν σε θέση να προσδιορίσει το π με ακρίβεια όση και ο Αρχιμήδης. Με ένα εξάγωνο κατάφερε να υπολογίσει 9 ακριβή ψηφία του π, δίνοντας για το π την τιμή:
   3,1415926533 < π < 3,1415926538
  Οι αποδείξεις των θεωρημάτων ήταν αρκετά μακροσκελείς. Το βασικότερο επίτευγμα του Huygens ήταν το γεγονός ότι θεμελίωσε τη μέθοδο του Snell και με βάση αυτή τη μέθοδο υπολόγισε ψηφία του π που θα απαιτούσαν πολύγωνα των 400.000 πλευρών για να υπολογισθούν.

        Η αλήθεια είναι ότι ούτε ο Snell ούτε ο Huygens ενδιαφέρονταν για να “καταρρίψουν” το ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του π. Η προσπάθειά τους ήταν να επινοήσουν ένα αποτελεσματικότερο τρόπο υπολογισμού των ψηφίων του π. Ουσιαστικά, ήταν οι δύο τελευταίοι σπουδαίοι μαθηματικοί που εργάσθηκαν στη λύση του Αρχιμήδη, χρησιμοποιώντας πολύγωνα. Και τούτο διότι την εποχή που ο Huygens  εστίαζε τις προσπάθειές του στα πολύγωνα, έμπαιναν οι βάσεις του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.
       Ένας επίσης σπουδαίος μαθηματικός, σύγχρονος του Snell και του Huygens, είναι ο Rene Descartes (1596-1650). O Descartes θεωρείται θεμελιωτής της αναλυτικής γεωμετρίας, η οποία συχνά αποκαλείται “Καρτεσιανή”, από το Renatus Cartesius, τη λατινική μορφή του ονόματος του Descartes. Ανάμεσα στα άλλα ο Καρτέσιος ασχολήθηκε και με τον υπολογισμό των ψηφίων του π, ακολουθώντας ένα τρόπο προσέγγισης που έμοιαζε αρκετά με αυτόν του Viete, με τη διαφορά ότι αντί να εργασθεί με τα εμβαδά κανονικών πολυγώνων, διατήρησε σταθερή την περίμετρό τους και διπλασιάζε τον αριθμό των πλευρών, μέχρι να προσεγγισθεί ο κύκλος.
(Για μια εκτενέστερη αναφορά στη μέθοδο του Καρτέσιου για τον υπολογισμό του π, ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στην εργασία της Π. Αρώνη: “Η Ιστορία του π” και στις σελίδες 77 και 78).





                                                    Rene Descartes (1596-1650).





Ο τάφος του Ντεκάρτ στο αβαείο Saint-Germain-des-Prés, στο Παρίσι.


Βιβλιογραφία - Αναφορές:

  David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001    
 Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, 
Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, 
      
     René Descartes
                Francois Viete



Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (35)  Συνεχίζεται...



          

Κυριακή, 12 Φεβρουαρίου 2012

16oς-17ος αιώνας (V)


Σχεδόν 19 αιώνες μετά το έργο “κύκλου μέτρησις” του Αρχιμήδη, άρχισαν οι έρευνητές του π να διερωτώνται για το αν υπάρχει κάποιος πιο σύντομος δρόμος, πέρα από τα πολύγωνα του Αρχιμήδη, για τον υπολογισμό των ψηφίων του π. Η μέθοδος της εξάντλησης με την οποία ασχολήθηκε ο Φαν Σόιλεν στα τελευταία χρόνια της ζωής του, λόγω των επίπονων και χρονοβόρων πράξεων (πολλαπλασιασμοί, διαιρέσεις, τετραγωνικές ρίζες που σχετίζονταν με εμβαδά πολυγώνων με δισεκατομμύρια πλευρές) ήταν άβολη και αποτρεπτική στο να χρησιμοποιηθεί και από άλλους ερευνητές. Έτσι ή θα 'πρεπε να αναζητηθούν νέοι καλύτεροι τρόποι για τον υπολογισμό των ψηφίων του π, ή θά 'πρεπε να παραμείνει κανείς ικανοποιημένος με τη γνώση λίγων δεκαδικών ψηφίων.
Τότε ακριβώς εμφανίζονται δύο σπουδαίοι Ολλανδοί μαθηματικοί, οι οποίοι κατάφεραν να βρουν ένα τέτοιο δρόμο και μάλιστα χωρίς την βοήθεια του απειροστικού λογισμού. Πρόκειται για τον Willebrord Snellius (Willebrord Snel van Royen, μαθηματικός, αστρονόμος και φυσικός 1580-1626 μΧ, ) και τον Christiaan Huygens ( μαθηματικός και φυσικός (1629-1695 μΧ).


Ο Snell ήταν καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Leyden και στην ιστορία έμεινε γνωστός κυρίως για τη δουλειά του στη διατύπωση των νόμων της διάθλασης του φωτός.


(Για μια απόδειξη του νόμου του Snell, με βάση την αρχή του Fermat, ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στο:

Στα 1621 ανακάλυψε μια νέα μέθοδο για τον υπολογισμό του π, που ήταν έξυπνη και διόλου επίπονη. Στην προηγούμενη μέθοδο του διπλασιασμού των πλευρών ενός πολυγώνου, ο Snell αντέταξε ένα τρόπο για καλύτερη προσέγγιση του π, χρησιμοποιώντας μάλιστα τον ίδιο αριθμό (λίγων) πλευρών.

Κατασκευάζοντας απλά ένα εγγεγραμμένο εξάγωνο σε κύκλο, ήταν σε θέση να δείξει ότι το π πρέπει να βρίσκεται στο διάστημα:
3,14022 < π < 3,14160

Για σύγκριση, από ένα εξάγωνο, η τιμή του π που προκύπτει με τη μέθοδο του Αρχιμήδη είναι:



3 <π < 3,464

Η τιμή του π με την μέθοδο του Snell, είναι πιο ακριβής ακόμα και από την τιμή που προκύπτει με την Αρχιμήδεια μέθοδο για ένα 96-γωνο. Ενώ κάνοντας χρήση ενός 96-γώνου, ο Snell καταλήγει στην τιμή:

3,1415926272 < π < 3,1415928320

Με λίγη ακόμα προσπάθεια κατάφερε να επιβεβαιώσει τα 35 δεκαδικά ψηφία που είχαν ευρεθεί από τον (σύγχρονό του) Ludolph Van Ceulen και μάλιστα με πολύ πιο εύκολο και γρήγορο τρόπο.

Και βέβαια πέρα από αυτό καθ΄εαυτό το γεγονός του προσδιορισμού των ψηφίων, μεγάλη αξία έχει το γεγονός ότι εισήγαγε ένα νέο τρόπο υπολογισμού, την ορθότητα του οποίου επιβεβαίωναν τα ψηφία του π που προσδιόριζε. Δεν κατάφερε όμως να δώσει μια αυστηρή μαθηματική απόδειξη για τους ισχυρισμούς του.

Το 1621 στο βιβλίο του Cyclometricus υποστήριξε ότι τα πάνω και τα κάτω όρια του π, όπως προκύπτουν από τα πολύγωνα του Αρχιμήδη, απέχουν πολύ εξ' αιτίας των ενδιάμεσων τόξων. Έτσι προσπάθησε να βρει όρια που θα προσέγγιζαν καλύτερα το μήκος ενός τόξου και τα κατάφερε. Όπως φαίνεται στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα, στην προέκταση της διαμέτρου ΑΒ, παίρνουμε το σημείο Ε, ώστε να είναι: ΒΕ=r (r, η ακτίνα του κύκλου). Ενώνοντας το F με το Ε (F σημείο τέτοιο ώστε γωνία ΒΟF= θ), παίρνουμε την FE που τέμνει στο σημείο G1 την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Β. Θα είναι τότε: τόξο ΒF>BG1. Στο δεύτερο σχήμα, θεωρούμε ότι το σημείο D είναι τέτοιο ώστε DE=r, οπότε η γωνία DEA είναι ίση με θ/3, και στην περίπτωση αυτή τόξο ΒF<BG2.


Βιβλιογραφία - Αναφορές

David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001
Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf




Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (34)  Συνεχίζεται...



Τετάρτη, 4 Ιανουαρίου 2012

GOOGOL – GOOGOLPLEX - GOOGOLPLEXIAN (ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΠΕΡΙΗΓΗΣΗ...ΣΤΟΥΣ ΜΕΓΑΛΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ)


      Ένα googol είναι ο αριθμός 10^100, δηλαδή η μονάδα ακολουθούμενη από 100 μηδενικά. Πρόκειται δηλαδή για τον αριθμό:
1googol=10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
(δέκα τριακοντανταδυάκις εκκατομμύρια).
       Ο όρος πρωτοαναφέρθηκε το 1938, από τον εννιάχρονο τότε Milton Sirotta (1929-1981), o  οποίος ήταν ανηψιός του Αμερικανού μαθηματικού Edward Kasner και πρωτοαναφέρθηκε στο βιβλίο "Μathematics and the imagination" των Κasner και Newman.
       Ο αριθμός αυτός δεν έχει κάποιο ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, είναι όμως πολύ χρήσιμος σαν μέτρο σύγκρισης με μεγάλες ποσότητες όπως π.χ. ο συνολικός αριθμός των υποατομικών σωματιδίων στο Σύμπαν ή ο αριθμός των δυνατών παρτίδων στο σκάκι.
        Για να πάρουμε μια ιδέα του μεγέθους του googol, ας δούμε πόσα άτομα υδρογόνου πρέπει να βάλουμε το ένα δίπλα στο άλλο, πάνω στην ίδια ευθεία, ώστε να καλύψουμε τη διάμετρο του γνωστού Σύμπαντος. Με δεδομένο ότι η ακτίνα του υδρογόνου είναι της τάξης του10^(-10) m, ενώ η ακτίνα του Σύμπαντος είναι 10^26 m, βρίσκουμε ότι αρκούν «μόνο»10^36 άτομα υδρογόνου. Αν αντί ατόμων χρησιμοποιούσαμε πυρήνες υδρογόνου (πρωτόνια), δεδομένου ότι η ακτίνα του πρωτονίου είναι της τάξης του 10^(-15)m, θα χρειαζόμασταν «μόλις» 10^41πρωτόνια. Επίσης αν διαιρέσουμε τη μάζα του Σύμπαντος 2X10^52(Kg) με την μάζα του ηλεκτρονίου, (9x10^(-31)kg), βρίσκουμε πηλίκο της τάξης του 10^82που εξακολουθεί να είναι πολύ μικρότερο του ενός googol. Αν θεωρήσουμε το λεγόμενο χρόνο του Planck: tP=5,4X10^(-44)s, σαν «κβάντο» μέτρησης του χρόνου, τότε η ηλικία του Σύμπαντος (από την μεγάλη έκρηξη μέχρι τις μέρες μας) είναι «μόλις»
   10^60 έως 10^61 «χρόνοι Planck».
         Το όνομα της πασίγνωστης πλέον εταιρίας Google, είναι μια παραλλαγή της λέξης Googol, από τους ιδρυτές της εταιρίας Larry Page και Sergey Brin, σύμφωνα με όσα περιγράφονται στο βιβλίο “The Google Story” του David A. Vise.  Το όνομα Google πλέον καταχωρείται στα λεξικά Oxford και Merriam-Webster ως συνώνυμο της λέξης “αναζήτηση”.
   
 GOOGOLPLEX  
         Ένα googolplex είναι ο αριθμός 10^googol, δηλαδή ο αριθμός 10^10^10
                          1googolplex=10^googol=10^10^100

        Στο επεισόδιο 9 με τον τίτλο “The Lives of Stars” της σειράς Cosmos, ο διάσημος αστροφυσικός Carl Sagan, υπολόγισε ότι το να γράψει κανείς ένα googolplex στη μορφή: 1000000000.....είναι αδύνατο, αφού δεν θα επαρκούσε ο χώρος που το γνωστό Σύμπαν παρέχει...
                              Googol and Googolplex by Carl Sagan

            Για να  αντιληφθούμε το μέγεθος του αριθμού αυτού, ας υποθέσουμε ότι γράφουμε δύο ψηφία ανά δευτερόλεπτο. Θα χρειαζόμασταν περίπου  10^92 χρόνια για να γράψουμε ένα googolplex (δηλαδή χρόνο ίσο με 10^82 φορές την ηλικία του Σύμπαντος) (Wikipedia: Googolplex)
           Σύμφωνα με τον φυσικό Don Page, ο αριθμός των καταστάσεων σε μια μαύρη τρύπα με μάζα περίπου όση ο Γαλαξίας της Ανδρομέδας, είναι της τάξης του ενός googolplex:
How to Get A Googolplex

          GOOGOLPLEXIAN
        Αν ο αριθμός googolplex φαντάζει και είναι απίστευτα μεγάλος, τι να πει κανείς για τον αριθμό  Googolplexian, που ορίζεται ως:
                             1googolplexian=10^googolplex=10^10^10^100
                               (http://www.googolplexian.com/)


      Άλλοι μεγάλοι αριθμοί:
        Αριθμός Σκιους (Skewe’s number), στην αριθμοθεωρία, ο οποίος ισούται με:
                                                      10^10^10^34

    Γράφοντας τον googolplex με τη μορφή:
                                                 10^10^100=10^10^10^2

παρατηρούμε ότι ο αριθμός του Σκιους είναι μεγαλύτερος του googolplex, και μικρότερος του googolplexian.
           Στο βιβλίο «Μαθηματικά μυστήρια» ,  σε μετάφραση Παναγιώτη Παπαχρήστου, από τις εκδόσεις Κέδρος, ο συγγραφέας Calvin C. Clawson, περιγράφει πως σε κάποιο πρόσφατο διδακτορικό, εμφανίζεται σαν αποτέλεσμα μελέτης ο αριθμός:
                                                    10^10^10^10^10^7

 (http://groups.google.com/group/sci.math/browse_thread/thread/b38318e328ca461c/482554d283535ba2)
 Και όπως παρατηρεί ο συγγραφέας: «Αυτός είναι πράγματι ένας μεγάλος αριθμός!»
         Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο λεγόμενος αριθμός Graham (Graham’s number) που απ’ ότι γνωρίζω δεν μπορεί να γραφεί με τη γνωστή εκθετική μορφή.
                                                Graham's number
                                             Ronald Lewis Graham,
          Ο γνωστός συγγραφέας Martin Gardner περιέγραψε τον αριθμό αυτό στα "Mathematical Games" του περιοδικού  Scientific American του Νοεμβρίου  1977, γράφοντας: "In an unpublished proof, Graham has recently established ... a bound so vast that it holds the record for the largest number ever used in a serious mathematical proof."

                          Googol, Googolplex & Graham's number




ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ –ΑΝΑΦΟΡΕΣ
1.  «Μαθηματικά μυστήρια» , Calvin C. Clawson σε μετάφραση Παναγιώτη Παπαχρήστου, από τις εκδόσεις Κέδρος.
2. Googol
3. Googolplex
4. Skewe’s number
5. Googol και το όνομα Google
  6. Graham’s number
  7.  Ronald Lewis Graham
8.(http://groups.google.com/group/sci.math/browse_thread/thread/b38318e328ca461c/482554d283535ba2)
9. Googol and Googolplex by Carl Sagan (Video)

[Και σε μορφή διαμοιρασμένου εγγράφου Google Doc]

Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική 
  
      (33)  Συνεχίζεται...



Τετάρτη, 28 Δεκεμβρίου 2011

10.000.000.000.000 ψηφία του π



Πριν από ένα χρόνο περίπου, στην ανάρτηση με τίτλο:
Δηλαδή είναι πολλά τα 5.000.000.000.000 ψηφία του π”,
 είδαμε ότι οι A. J. Yee και S. Kondo, είχαν καταγράψει τα πρώτα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία του π.
 Οι ίδιοι λοιπόν κυνηγοί ψηφίων του π “επανήλθαν” και ανακοίνωσαν ότι πλέον
 έχουν καταγεγραμμένα τα 10 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Για το επίτευγμά τους αυτό χρησιμοποίησαν, όπως οι ίδιοι αναφέρουν, το ίδιο σύστημα που είχαν χρησιμοποιήσει για το προηγούμενο ρεκόρ τους και απλά χρειάσθηκε να περιμένουν περισσότερο χρόνο.
        Το σύστημά τους, είχε τα παρακάτω χαρακτηριστικά, όπως αναφέρουν στην ιστοσελίδα τους:
Processor
2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded)
Memory
96 GB DDR3 @ 1066 MHz - (12 x 8 GB - 6 channels)
Motherboard
        Asus Z8PE-D12
Hard Drives
        1 TB SATA II (Boot drive)

        5 x 2 TB SATA II (Store Pi Output)

        24 x 2 TB SATA II (Computation) - various models

Raid Controller
         3 x LSI MegaRaid SAS 9260-8i
Operating System
         Windows Server 2008 R2 Enterprise x64

Built By
Shigeru Kondo

 






Δηλαδή είναι πολλά τα 10.000.000.000.000 ψηφία;
          Έχουμε ήδη αναφέρει ότι η χρήση και μόνον 38 δεκαδικών ψηφίων του π, μας εξασφαλίζει εξαιρετική ακρίβεια, ακόμα κι' αν αναφερόμαστε σε μεγέθη που αφορούν σε ολόκληρο το Σύμπαν. Από την άλλη μεριά,  είναι  ήδη γνωστά ( Οκτώβρης 2011) τα πρώτα 10 τρισεκατομμύρια (1013) ψηφία του π. Για να καταλάβουμε  το μέγεθος αυτό ας δούμε τα παρακάτω:
  1.  Αν εκφωνούσαμε 1 ψηφίο του π ανά sec, χωρίς διακοπή, θα θέλαμε:
                                   1013/(3,15.107)=317.460 χρόνια
           για να απαγγείλουμε όλα τα μέχρι τώρα γνωστά ψηφία του π.
      ii) Ας υποθέσουμε ότι αποφασίζουμε να καταγράψουμε όλα αυτά τα ψηφία, γράφοντας 50 ψηφία σε κάθε 10cm, (δηλαδή με πυκνότητα 5ψηφία/cm). Τότε η γραμμή που θα σχηματιζόταν θα είχε μήκος:
                               1013 /5 = 2.1012cm =2.1010m = 2.107 km  
                                  
     Αν αναλογισθούμε ότι η (μέση) απόσταση Γης – Σελήνης είναι περίπου 380000 km, καταλαβαίνουμε το τεράστιο μήκος που θα είχε αυτή η “ταινία” με τα καταγεγραμμένα ψηφία του π. (Πάνω από 52 φορές την απόσταση  Γης – Σελήνης).
       iii)  Αν αποφασίζαμε να “αποθηκεύσουμε”τον αριθμό σ' ένα σκληρό δίσκο, αυτός θά είχε μέγεθος της τάξης των 20ΤΒ (1ΤΒ = 240 bytes). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στη σχετική ιστοσελίδα: 

Round 2... 10 Trillion Digits of Pi

 http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html

(Οι κάτοχοι πάντως του ρεκόρ A. J. Yee  και  S. Kondo αναφέρουν ότι για την αποθήκευση των ψηφίων σε μορφή ασυμπίεστου ascii αρχείου, θα απαιτούντο  16,6 ΤΒ αποθηκευτικού χώρου).
     iv) Αν “κατεβάζαμε” τον αριθμό σ' έναν υπολογιστή τότε μετά το πάτημα του πλήκτρου “αποθήκευση”, θα έπρεπε να περιμένουμε (ανάλογα και με την ταχύτητα της σύνδεσης και  του μηχανήματος) πάνω από 40 μέρες μέχρι να ολοκληρωθεί η διαδικασία.

  Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (32)  Συνεχίζεται...