Πέμπτη, 30 Δεκεμβρίου 2010

Πόσα ψηφία χρειαζόμαστε για τους υπολογισμούς μας;






Ας θεωρήσουμε ότι γνωρίζουμε επακριβώς την ακτίνα της Γης και ότι αυτή ισούται με 6.400.000m ή 6.400km ή 6,4.106m. (Στην πραγματικότητα η ακτίνα της Γης στον Ισημερινό είναι 6,378.106 m, ενώ η ακτίνα της Γης στους πόλους είναι ίση με 6,357.106m).

Έχουμε λοιπόν:
R = 6,4.106 m.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Γ = 2.π.R ,

μπορούμε να βρούμε την περίμετρο της Γης (που για την ανάλυσή μας θεωρούμε σφαιρική, θεωρούμε δηλαδή ότι η πολική και η Ισημερινή της ακτίνα ταυτίζονται και ισούνται με 6,4.106m). Άν λοιπόν πάρουμε (για ευκολία) το π να είναι 3,14 βρίσκουμε:

Γ1= 2.π.R = 2.3,14.6,4.106m=40,192.106m

Χρησιμοποιώντας καλύτερη προσέγγιση για το π, δηλαδή παίρνοντας π=3,1415926536, βρίσκουμε:

Γ2= Γ= 2.π.R = 2.3,1415926536.6,4.106m=40,212.106m.

Έτσι οι δύο υπολογισμοί μας διαφέρουν κατά 20000m.(Αν σας φάινεται μεγά-λη η διαφορά των 20Km, στα περίπου 40000 Km σκεφτείτε ότι αντιστοιχεί σε σφάλμα 0,05%). Τώρα, ο υπολογισμός μας με τη χρησιμοποίηση 10 δεκαδικών ψηφίων του π , θα διαφέρει της αντίστοιχης με τα άπειρα δεκαδικά (ακριβης τιμή του π) το πολύ κατά 0,004m ,ή 4mm.
Η ακτίνα του Σύμπαντος υπολογίζεται ότι είναι: R = 4,4.1026 m (Δηλαδή το 44 ακολουθούμενο από 25 μηδενικά!).

Έτσι η περίμετρος του Σύμπαντος (θεωρούμενου Ευκλείδειου) θα είναι:

Γ = 2.π.R = 2,7632.1027 m (περίπου), αν πάρουμε π = 3,14

Τώρα άν χρησιμοποιήσουμε 38 δεκαδικά ψηφία του π, η περίμετρος του Σύμπαντος που θα βρούμε , θα διαφέρει από την αντίστοιχη με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία του π, το πολύ κατά 2,76.10-11 m, δηλαδή λιγότερο από την ακτίνα του μικρότερου ατόμου, του ατόμου του Υδρογόνου).


Γιάννης Φιορεντίνος

ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...

Κυριακή, 26 Δεκεμβρίου 2010

Με τι ισούται αυτό το π;


Ο αριθμός π , όπως είπαμε ήδη, είναι άρρητος. Δηλαδή αποτελείται από άπειρα δεκαδικά ψηφία μη επαναλαμβανόμενα. Επομένως είναι αδύνατο, όσο ευφυείς κι΄αν είμαστε και όσο ισχυρούς υπολογιστές και αν αποκτήσουμε, να βρούμε την ακριβή αριθμητική τιμή του π.
          Αρκεί βέβαια να χρησιμοποιήσει κανείς ένα κομμάτι σχοινί και ένα (στρογγυλό) ποτήρι για να διαπιστώσει ότι η περίμετρος ενός κύκλου είναι (λίγο) μεγαλύτερη από το τριπλάσιο της διαμέτρου του  (ή το εξαπλάσιο της ακτίνας του). Διαθέτοντας ένα καλό χάρακα που να μετράει εύκολα τα χιλιοστά μπορούμε να διαπιστώσουμε  ότι ο ζητούμενος λόγος (της περιμέτρου του κύκλου προς τη διάμετρό του) είναι λίγο μεγαλύτερος από το 3,141. Με κατάλληλες μαθηματικές μεθόδους βρίσκουμε την τιμή 3,141592653...., όπου η προσθήκη κάθε επιπλέον δεκαδικού ψηφίου αυξάνει κατά 10 φορές την ακρίβεια. (Ο  Αρχιμήδης ήταν αυτός που καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδιδεγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός π). Και βέβαια σήμερα που υπάρχουν οι υπολογιστές μπορεί κανείς να βρεί ακόμη και τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Έτσι σήμερα, το «παγκόσμιο ρεκόρ» είναι 5.000.000.000.000 ψηφία του π που τον Αύγουστο του 2010 κατάφεραν να υπολογίσουν οι Alexander J. Yee & Shigeru Kondo, χρησιμοποιώντας ένα υπολογιστή    2x Intel Xeon X5680 στα 3.33 GHz με μνήμη 96GB DDR3 και λειτουργικό Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Για το στόχο αυτό ο υπολογιστής δούλευε συνεχώς για 90 ημέρες (για περισσότερες πληροφορίες:   http://el.wikipedia.org/wiki/Αριθμός_π) Για την ιστορία αλλά και για να δούμε την αλματώδη εξέλιξη των υπολογιστών αναφέρουμε ότι στα 1949 ο διάσημος Ούγγρος μαθηματικός John von Neumann χρησιμοποίησε τον υπολογιστή ENIAC και σε 70 ώρες υπολόγισε 2037 ψηφία του π.
                Παρακάτω δίνουμε τα 100 πρώτα ψηφία του π:
       3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
       05820974944592307816406286208998628034825342117068
             Πόσα όμως ψηφία του π χρειαζόμαστε;
Για ένα τεχνίτη το π είναι:     π=3,14
Για ένα μηχανικό είναι:          π=3,14159
Για ένα φυσικό είναι:              π=3,1415926536
Για ένα μαθηματικό είναι:    π= άρρητος, υπερβατικός αριθμός


Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...



Σάββατο, 25 Δεκεμβρίου 2010

Τα κάλαντα του π



Χρονιάρες μέρες, οι φανατικοί του π, μπορούν να πάρουν τα καμπανάκια τους και να τραγουδήσουν αγγλιστί τον παρακάτω... ύμνο, στο ρυθμό βέβαια του "Oh Christmas Tree":


Oh, number Pi
Oh, number Pi
Your digits are unending,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
No pattern are you sending.
You're three point one four one five nine,
And even more if we had time,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
For circle lengths unbending.
Oh, number Pi
Oh, number Pi
You are a number very sweet,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
Your uses are so very neat.
There's 2 Pi r and Pi r squared,
A half a circle and you're there,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
We know that Pi's a tasty treat.

Παρασκευή, 24 Δεκεμβρίου 2010

Τι είναι το π;





Τι είναι το π;
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Ο αριθμός αυτός χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. ( Ο Ουαλός μαθηματικός William Jones ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε το σύμβολο «π» στα 1706, ενώ στη μαθηματική βιβλιογραφία καθιερώθηκε από τον διάσημο Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler στα 1737). Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη .
Στην Ευκλείδια λοιπόν γεωμετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Ιστορικά, ο Αρχιμήδης ήταν ο πρώτος που απέδειξε ότι το π που υπεισέρχεται στον τύπο για το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου (ας το πούμε π1) και το π που υπεισέρχεται στον τύπο για το εμβαδόν ενός κύκλου (ας το πούμε π2) ταυτίζονται. Έτσι λοιπόν έχουμε:
Μήκος περιφέρειας (Γ): Γ = R
Εμβαδόν κύκλου (Ε): E= πR2
όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Μερικές ιδιότητες του π
Το π είναι ένας άρρητος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών, πράγμα που αποδείχθηκε το 1761 από τον Johann Heinrich Lambert. Άρρητοι αριθμός είναι επίσης π.χ ο ή ο κ.λ.π
Το π είναι επίσης υπερβατικός αριθμός, όπως αποδείχθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Ferdinand von Lindemann το 1882. Υπερβατικός αριθμός σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυωνυμική εξίσωση με ρητούς συντελεστές που να δέχεται σαν ρίζα (λύση) το π. Ένας άλλος διάσημος υπερβατικός είναι το e (Η βάση των λεγόμενων Νεπέριων λογαρίθμων). Σ’ αυτή την ιδιότητα του π (την υπερβατικότητα) οφείλεται και το γεγονός ότι είναι αδύνατος ο τετραγωνισμός του κύκλου, με κανόνα και διαβήτη. (Διότι ένας υπερβατικός αριθμός είναι μη κατασκευάσιμος).
[Πηγές:εγκυκλοπαίδεια ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ)

Γιάννης Φιορεντίνος 
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...

Πέμπτη, 23 Δεκεμβρίου 2010

Σκοπός αυτού του ιστολόγιου



Μετά από συζήτηση με το φίλο και συνάδελφο Γιάννη Φιορεντίνο, φυσικό στο 19ο Γυμνάσιο Περιστερίου, αποφάσισα να ανεβάσω στο διαδίκτυο αυτό το μπλογκ.
Αιτία δεν είναι μόνο η δική μου περιέργεια για τον "μαγικό' αριθμό π, ούτε η μακρόχρονη ενασχόληση του Γιάννη με τα ανώτερα μαθηματικά.
Ελπίζουμε και οι δύο πως θα κεντρίσει το ενδιαφέρον για τις θετικές επιστήμες και σε αρκετούς μαθητές μας που ασχολούνται με το διαδίκτυο και για εκπαιδευτικούς λόγους.
Η επιστημονική ευθύνη για το περιεχόμενο των αναρτήσεων, λόγω ειδικότητας, ανήκει φυσικά στο Γιάννη.
Εγώ απλώς θα βοηθήσω στην ψηφιοποίηση και παρουσίαση του υλικού.
Μακάρι, σε δεύτερη φάση να προχωρήσουμε και σε σχετικά μαθήματα ή και παραγωγή πρωτότυπου εκπαιδευτικού υλικού.