Τρίτη, 24 Μαΐου 2011

ΙΝΔΙΑ [ΙΙΙ] Βραχμαγκούπτα ( Brahmagupta)



Και ερχόμαστε στον 70 μΧ. αιώνα όπου στα Ινδικά μαθηματικά και την αστρονομία δεσπόζει η μορφή του Βραχμαγκούπτα (Brahmagupta). Ο Βραχμαγκούπτα έγραψε πολλές σπουδαίες εργασίες πάνω στα μαθηματικά και την αστρονομία. Το γνωστότερο έργο του είναι το: Brāhmasphuṭasiddhānta που γράφτηκε γύρω στα 628 μ.Χ. Στα 25 κεφάλαια του έργου περιέχονται πολλά πρωτότυπα μαθηματικά αποτελέσματα.

Για πολλά χρόνια ήταν επικεφαλής του αστεοσκοπείου της Ujjain, που εκείνη την εποχή ήταν ένα από τα σημαντικότερα αστεροσκοπεία της Ινδίας. Το έργο του ήταν κυρίως αστρονομικής φύσεως (όπως άλλωστε και τα περισσότερα μαθηματικά έργα της περιόδου αυτής). Ο Βραχμαγκούπτα αν και έζησε έναν αιώνα μετά τον Αριαμπάτα, στο έργο του συναντά κανείς, ελάχιστα κοινά σημεία με αυτά του προκατόχου του. [5.]

Σε ό,τι αφορά την τιμή του π, ο Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιεί στα έργα του τις τιμές:
π = 22/7 , π = 3,1416 και π = sqrt(10)
Μια εκδοχή για το πώς έφτασε στην τιμή π = sqrt(10) , είναι το να βασίστηκε στα Αρχιμήδεια πολύγωνα. Πιθανόν να παρατήρησε ότι οι περίμετροι των πολυγώνων με 12, 24, 48 και 96 πλευρές, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο διαμέτρου 10 δίνονται αντίστοιχα από τους αριθμούς:




sqrt (965) , sqrt(981) , sqrt(986) , sqrt(987) .

Έτσι μπορεί λανθασμένα να υπέθεσε ότι αυξάνοντας τον αριθμό των πλευρών, η περίμετρος τείνει στον αριθμό sqrt(1000) , έτσι ώστε:

π = sqrt(1000)/10 = sqrt(10) = 3,1623

Ο Brahmagupta συγκεκριμένα έγραψε ότι η «πρακτική» τιμή του π είναι 3 και η «καθαρή» τιμή του είναι: sqrt(10 ) Πιθανότατα η διάδοση αυτής της τιμής του π στην Ινδία αλλά και στην Ευρώπη, στη διάρκεια του μεσαίωνα, αντί της ακριβέστερης του Aryabhata να οφείλεται στο ότι είναι εύκολο να τη μάθει κανείς αλλά και να την απομνημονεύσει. [2].

Το 628, Βραχμαγκούπτα (Brahmagupta) ήταν ο πρώτος που διαπίστωσε πως η βαρύτητα ήταν μια ελκτική δύναμη. Εξηγούσε πως "τα
σώματα πέφτουν προς τη γη καθώς είναι στη φύση της γης να έλκει σώματα, όπως είναι στη φύση του νερού το να ρέει". Ο Σανσκριτικός όρος που χρησιμοποιούσε για τη βαρύτητα, 'gurutvā-karṣaṇam', σήμαινε 'η έλξη του βάρους'. Ο Βραχμαγκούπτα επίσης υιοθέτησε το ηλιοκεντρικό σύστημα για την βαρύτητα, το οποίο είχε νωρίτερα αναπτύξει ο Αριαμπιάτα (Aryabhata) το 499. (Wikipedia).


Βιβλιογραφία - Αναφορές
Για Βραχμαγκούπτα

1. Blatner, D. (2001).  Η χαρά του π. Μετάφραση του: The joy of π Ωκεανίδα: Αθήνα 
2. Αρώνη, Π. (2008). Η ιστορία του π. Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
3. Άρθρο Brahmagupta στην αγγλόφωνη Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta
5. Ντάλα, Γ. (2006). Tα αρχαία Ινδικά μαθηματικά μέχρι τον 70 μΧ. αιώνα.  Μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία


Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(22)  Συνεχίζεται...

Κυριακή, 15 Μαΐου 2011

ΙΝΔΙΑ [ΙΙ] Ο ΑΡΙΑΜΠΧΑΤΑ



O Aryabhata (476 μΧ. - 550 μΧ.) υπήρξε ο πρώτος μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος της κλασσικής εποχής των Ινδικών μαθηματικών και της Ινδικής αστρονομίας. Τα πιο διάσημα έργα του είναι το Aryabhatiya (γράφτηκε το 499 μΧ. όταν ο  Aryabhata ήταν μόλις 23 ετών) και το έργο Arya-siddhanta.

        Στο έργο  Aryabhatiya περιέχονται συγκεντρωμένα όλα τα προηγούμενα Ινδικά αστρονομικά και μαθηματικά επιτεύγματα και έργα, συνιστά λοιπόν κάτι αντίστοιχο με τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ενώ αναφέρονται οι λύσεις πολλών προβλημάτων, συνήθως δεν γίνεται μνεία στον τρόπο με τον οποίο προέκυψαν οι συγκεκριμένες λύσεις. Έτσι περιγράφεται ο τρόπος εύρεσης των θετικών και ακέραιων ριζών μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού με δύο αγνώστους. Παρουσιάζονται οι συναρτήσεις ημίτονο (που συνοδεύεται από πίνακα ημιτόνων), συνημίτονο και παρημίτονο (1-cos(x)).

                          Στο ίδιο έργο βρήκε μια εξίσωση με τη βοήθεια της οποίας βρήκε την περίμετρο ενός πολυγώνου με 384 πλευρές και κατέληξε στην τιμή :
                                                 π = (9,8684)1/2
 δηλαδή:            
                                                       π = 3,1414   

Ανακοίνωσε την ανακάλυψή του γράφοντας ένα ποίημα, το Γκανίτα, με 33 δίστιχα,  στο οποίο (και πιο συγκεκριμένα στο τέταρτο δίστιχο )  έδινε για το π  ως προσέγγιση την τιμή:      
 
«Πρόσθεσε 4 στο 100, πολλαπλασίασε επί 8, και πρόσθεσε ακόμα 62.000. Το αποτέλεσμα είναι η κατά προσέγγιση περίμετρος ενός κύκλου με διάμετρο 20.000.»  
                                
Σύμφωνα λοιπόν με την παραπάνω πρόταση:

                          π = [(100+4).8+62000]/20000

                                                                                              ή
                                       π = 62832/20000
                                                                                              ή
                                          π =3927/1250
                                                                                              ή
                                           π = 3,1416

(Δηλαδή τελικά το “προσεγγιστικό ” ποιηματάκι έδινε καλύτερη τιμή για το π απ΄ότι ο ίδιος ο υπολογισμός).



        Βιβλιογραφία – Αναφορές:

 David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001              

   Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf


http://en.wikipedia.org/wiki/Aryabhata


Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(21)  Συνεχίζεται...

Πέμπτη, 5 Μαΐου 2011

ΙΝΔΙΑ



Στα μέσα της πρώτης μετά Χριστόν χιλιετίας τα μαθηματικά γνώρισαν μεγάλη ανάπτυξη και στην Ινδία, ενδεχομένως λόγω των μαθηματικών και επιστημονικών γνώσεων που εισήχθησαν αρχικά από την Ελλάδα, με τις κατακτήσεις του Μ. Αλεξάνδρου (4ος αιώνας π.Χ.) και αργότερα από τη Ρώμη.

Οι Ινδοί είχαν αναπτύξει αξιόλογο πολιτισμό την ίδια περίπου εποχή με τους Αιγύπτιους και του Βαβυλώνιους, χωρίς όμως να είναι γνωστά πολλά πράγματα για τον πολιτισμό τους αυτό, καθόσον δεν διασώθηκαν και πολλά στοιχεία από την πρώιμη αυτή περίοδο της Ινδικής ιστορίας. Εμμέσως γνωρίζουμε ότι όπως και οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι, έτσι και οι Ινδοί γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα καθώς και ότι είχαν αναπτύξει σε μεγάλο βαθμό την Αστρονομία.

Μία από τις λίγες άμεσες πηγές που έχουμε είναι το αρχαιότερο έργο στην Ινδία, το Sulva Sutra, το οποίο κυρίως περιέχει αναφορές για την κατασκευή βωμών για θυσίες. Για το έργο αυτό που είναι γραμμένο σε έμμετρο λόγο, δεν είναι γνωστή ούτε η ακριβής χρονολογία συγγραφής, ούτε ο συγγραφέας. Σύμφωνα με τον Loria (Loria, G., Ιστορία των μαθηματικών , Εκδόσεις Ε.M.E, Αθήνα 1971), το πιο πιθανό είναι να γράφτηκε στην περίοδο 200 μ.Χ. - 400 μ.Χ. Επίσης ο Kaye (Kaye, G. R., Indian Mathematics (2ος τόμος), Isis, 1914), αναφέρει ότι πρέπει να γράφτηκε σίγουρα μετά το 200 μ.Χ, άποψη με την οποία συντάσσονται οι περισσότεροι μελετητές.

Στο Sulva Sutra λοιπόν υπήρχε κυρίως μια συλλογή από θρησκευτικούς κανόνες, αλλά περιέχονταν επίσης και αρκετές μαθηματικές γνώσεις και πληροφορίες καθώς και στοιχεία αστρονομίας. Μεταξύ των άλλων περιέχεται και ένας κανόνας για την κατασκευή ενός κύκλου με εμβαδό ίσο με το εμβαδό ενός (δοσμένου) τετραγώνου.Σύμφωνα λοιπόν με τον κανόνα αυτό:

Στο 1/2 της πλευράς του τετραγώνου προσθέτουμε το 1/3 της διαφοράς μεταξύ του 1/2 της διαγωνίου και του 1/2 της πλευράς. Το μήκος που προκύπτει μας δίνει την ακτίνα του κύκλου που έχει το ίδιο εμβαδόν με το τετράγωνο”.

Δηλαδή, η ακτίνα του “ισεμβαδικού” κύκλου είναι:

R = a/2 +1/3.(a.sqrt(2)/2 – a/2) = a/3 (1+sqrt(2)/2) ,

όπου με sqrt εννοούμε την τετραγωνική ρίζα (square root).

Με βάσει την παραπάνω σχέση βρίσκει κανείς για το π την τιμή:

π = 3,0884

δηλαδή μια όχι και τόσο ικανοποιητική προσέγγιση.

Βιβλιογραφία – Αναφορές

David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001

Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf


Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(20)  Συνεχίζεται...