Πέμπτη, 21 Απριλίου 2011

ΚΙΝΑ (IV)

Την καλύτερη όμως προσέγγιση του π, πέτυχαν τον 50 μ.Χ. αιώνα, ο μεγάλος αστρονόμος, μαθηματικός και μηχανικός Zu Chongzhi (Τσου Τσ'ουνγκ-τσιχ) και ο γιος του Zu Gengzhi (Τσου Κενγκ-τσιχ). Πατέρας και γιος, συνέγραψαν ένα μαθηματικό έργο με τον τίτλο: Zhui Shu (μέθοδος παρεμβολής), το οποίο περιείχε τύπους για τον όγκο της σφαίρας, τις κυβικές εξισώσεις και την ακριβή τιμή του π. Το σπουδαίο αυτό έργο δυστυχώς δε διασώθηκε.

Zu Chongzhi


Ο Zu Chongzhi λοιπόν και ο Zu Gengzhi χρησιμοποίησαν εγγεγραμμένα πολύγωνα με 24.576 πλευρές , προκειμένου να προσεγγίσουν το π. Είναι πιθανό να ξεκίνησαν τη μελέτη τους με ένα εξάγωνο, και στη συνέχεια με 12 διαδοχικούς διπλασιασμούς πλευρών να έφτασαν στο 24.576-γωνο.

Πράγματι είναι:

6 Χ 212 = 6 Χ 4096 = 24576

Κατέληξαν έτσι στην τιμή:

π = 355/113 = 3,14159292

Με δεδομένο ότι η αποδεκτή σήμερα τιμή του π είναι:

π= 3,14159265 ,

η τιμή που προσδιόρισαν διαφέρει από την “πραγματική” μόνο κατά 2,7 δεκάκις εκατομμυριοστά δηλαδή το σχετικό σφάλμα είναι: 0,0000086%. Η τιμή λοιπόν αυτή του π, απετέλεσε την καλύτερη προσέγγιση για το π για μια αρκετά μεγάλη χρονική περίοδο, αφού έπρεπε να περάσουν πάνω από χίλια χρόνια για να βρεθεί μια καλύτερη προσέγγιση. 


Πράγματι, πολύ αργότερα, ο Γάλλος μαθηματικός  Francois Viete (1540-1603), θεωρώντας ένα κανονικό πολύγωνο με 393.216 πλευρές (ξεκινώντας από ένα εξάγωνο και πραγματοποιώντας 16 διαδοχικούς διπλασιασμούς πλευρών) κατάφερε να υπολογίσει με ακρίβεια τα 9 πρώτα δεκαδικά ψηφία του π.

Προς τιμή λοιπόν του Zu Chongzhi:
  • Ο αριθμός π= 355/113, ονομάζεται: λόγος Zu Chongzhi
  • Ονμάστηκε Zu Chongzhi ένας κρατήρας στη σελήνη
  • Ο αστεροειδής 1964VO1, ονομάστηκε: 1888 Zu Chongzhi
    Επίσης, αξίζει να αναφέρουμε ότι η επόμενη μετά το
  • π = 355/113,
  • ρητή προσέγγιση του αριθμού π, είναι το κλάσμα:
    π = 52163/16604 = 3,14159238738


Αναφορές:

    1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi



Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(19)  Συνεχίζεται...

Πέμπτη, 14 Απριλίου 2011

ΚΙΝΑ (III)

   

                   O Liu Hui , θεωρείται ως ο πρώτος Κινέζος μαθηματικός, ο οποίος ασχολήθηκε διεξοδικά και συστηματικά με τον υπολογισμό του π. Έζησε τον τρίτο αιώνα μετά Χριστόν. 650 χρόνια λοιπόν μετά τους Έλληνες Αντιφώντα και Βρύσωνα, οι οποίοι προσπάθησαν να υπολογίσουν το εμβαδόν του κύκλου προσεγγίζονάς τον με διαδοχικά (αυξανόμενου αριθμού πλευρών) πολύγωνα, ο Liu Hui, επινόησε την ίδια μέθοδο με την οποία επεχείρησε να υπολογίσει το εμβαδόν του κύκλου.
        
              Το 263 μ.Χ. λοιπόν δημοσίευσε τη δική του μέθοδο της “εξάντ-λησης”.  Εξετάζοντας ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο 192 πλευρών στον κύκλο, βρήκε ότι η τιμή του π βρίσκεται στο διάστημα:

                                              3,141024 < π < 3,142704 

               Συνέγραψε σχόλια στο έργο “ Η αριθμητική σε εννιά μέρη” , τα οποία διασώθηκαν μέχρι τις μέρες μας. Σχολιάζοντας λοιπόν τα προβλήματα 31 και 32 του πρώτου κεφαλαίου του εν λόγω έργου, έδωσε για το π, τις “βελτιωμένες” προσεγγίσεις:

              π = 157/50 = 3,14     ,    και      π = 3927/1250 =,1416

         Το πρόβλημα 31 αναφέρεται στον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυκλικού αγρού με περιφέρεια 30 και διάμετρο 10, ενώ στο πρόβλημα 32 υπάρχει η διατύπωση: “ η επιφάνεια κύκλου ισούται με το μισό της περιφέρειας του κύκλου πολλαπλασιασμένο με το μισό της διαμέτρου του”

                Σύμφωνα με τους διάφορους ερευνητές κατέληξε στα συμπερά-σματά του ακολουθώντας την ίδια μέθοδο με τον Αντιφώντα και τον Βρύσωνα, την οποία (κατά πάσα πιθανότητα) επενόησε ο ίδιος 650 περίπου χρόνια μετά.

                    Για τις πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιούσε την τιμή:
                                            π = 157/50 = 3,14 

        Αναγνώριζε και υποστήριζε ότι όσο περισσότερο προχωράει η διαδικασία της “εξάντλησης” τόσο μεγαλώνει και η ακρίβεια στον υπολογισμό του π.
 
                                                

Υποστήριξε λοπόν πως αν κάποιος υπολογίσει την πλευρά ενός πολυγώνου με 1536 πλευρές, τότε μπορεί να βρει το εμβαδόν του πολυγώνου με 3072 πλευρές πετυχαίνοντας έτσι καλύτερη προσέγγιση για το π. Ο ίδιος δεν αναφέρει το αποτέλεσμα. Αν όμως γίνει ο υπολογισμός τότε προκύπτει η τιμή:

                                                      π = 3,14159


(Για μια αναλυτική παρουσίαση της μεθόδου του Liu Hui: Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf , σελίδα 45)

                Σε αντίθεση με τον Αρχιμήδη, ο Liu Hui χρησιμοποίησε μόνο εγγεγραμμένα πολύγωνα (ο Έλληνας σοφός χρησιμοποίησε και περιγεγραμμένα). Επίσης ενώ ο Αρχιμήδης (συνειδητά)  σταμάτησε στο 96-γωνο, ο Liu Hui, προχώρησε στο 192-γωνο, πετυχαίνοντας έτσι καλύτερη προσέγγισση.
   

                         

       Αναφορές:

1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001 

2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλω-ματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

3.  http://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui

4. http://www.chine-informations.com/guide/liu
-hui_3329.html

5.  http://www.chinaculture.org/gb/en_aboutchina/2003-     09/24/content_26269.htm


Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(18)  Συνεχίζεται...

Τρίτη, 5 Απριλίου 2011

ΚΙΝΑ (ΙΙ)


Ο Chang Hong ( 78 – 139 μΧ.) ήταν υπουργός και αστρολόγος του αυτοκράτορα Αν-τι, στις αρχές του δεύτερου αιώνα μ. Χ. Γύρω στο 130 μ. Χ., στο έργο του με τον τίτλο Ling Hsin, το οποίο κατά βάση ήταν αστρονομικό, ανέπτυξε τη θεωρία του για τη δημιουργία του Σύμπαντος. Στο συγκεκριμένο λοιπόν έργο λέγεται ότι απέδειξε την πρόταση:
Το πηλίκο του τετραγώνου της περιφέρειας του κύκλου προς το τετράγωνο της περιμέτρου του τετραγώνου που είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο, ισούται με 5 /8.”
Έτσι αν θεωρήσουμε ένα κύκλο με διάμετρο ίση με τη μονάδα, η περίμετρος του περιγεγραμμένου τετραγώνου θα είναι ίση με 4, οπότε, σύμφωνα με την πρόταση του Chang Hong, θα είναι:
π2 /16 = 5/8 , ή π2 = 10 , ή π = (10)1/2,, ή π = 3,162


Η τιμή λοιπόν αυτή παρότι είναι αρκετά ανακριβής, ίσως λόγω της απλότητάς της (τετραγωνική ρίζα του 10), παρέμεινε ως η δημοφιλέστερη
προσέγγιση του π στην Ασία, για πολλά χρόνια μετά το θάνατο του Chang Hong. Έτσι αν θεωρήσουμε ένα κυκλικό κτίριο με διάμετρο d = 20 m, τότε η περιφέρειά του θα “αποκλίνει” περίπου κατά 40 εκατοστά, ενώ το εμβαδόν του θα αποκλίνει κατά περίπου 2 τετραγωνικά μέτρα.
Αργότερα ο Κινέζος αστρονόμος, Wang Fan (219 – 257 μΧ.), χρησιμοποίησε μια καλύτερη προσέγγιση για το π. Υποστήριξε πως αν η περιφέρεια ενός κύκλου είναι 142, τότε η διάμετρός του είναι 45. Δεν είναι γνωστό με πιο τρόπο κατέληξε σ΄αυτό το συμπέρασμα. Πάντως αν διαρέσουμε το 142 με το 45 βρίσκουμε την τιμή 3,156, που ήταν η τιμή του π κατά τον Wang Fan. (Θυμηθήτε ότι: Γ = 2 π R = π d).
Αναφορές:
  1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001
  2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλω-ματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
(17)  Συνεχίζεται...