ΚΙΝΑ (IV)

Την καλύτερη όμως προσέγγιση του π, πέτυχαν τον 5⁰ μ.Χ. αιώνα, ο μεγάλος αστρονόμος, μαθηματικός και μηχανικός Zu Chongzhi (Τσου Τσ'ουνγκ-τσιχ) και ο γιος του Zu Gengzhi (Τσου Κενγκ-τσιχ). Πατέρας και γιος, συνέγραψαν ένα μαθηματικό έργο με τον τίτλο: Zhui Shu (μέθοδος παρεμβολής), το οποίο περιείχε τύπους για τον όγκο της σφαίρας, τις κυβικές εξισώσεις και την ακριβή τιμή του π. Το σπουδαίο αυτό έργο δυστυχώς δε διασώθηκε.

Zu Chongzhi

Ο Zu Chongzhi λοιπόν και ο Zu Gengzhi χρησιμοποίησαν εγγεγραμμένα πολύγωνα με 24.576 πλευρές , προκειμένου να προσεγγίσουν το π. Είναι πιθανό να ξεκίνησαν τη μελέτη τους με ένα εξάγωνο, και στη συνέχεια με 12 διαδοχικούς διπλασιασμούς πλευρών να έφτασαν στο 24.576-γωνο.

Πράγματι είναι:

6 Χ 2¹² = 6 Χ 4096 = 24576

Κατέληξαν έτσι στην τιμή:

π = 355/113 = 3,14159292

Με δεδομένο ότι η αποδεκτή σήμερα τιμή του π είναι:

π= 3,14159265 ,

η τιμή που προσδιόρισαν διαφέρει από την “πραγματική” μόνο κατά 2,7 δεκάκις εκατομμυριοστά δηλαδή το σχετικό σφάλμα είναι: 0,0000086%. Η τιμή λοιπόν αυτή του π, απετέλεσε την καλύτερη προσέγγιση για το π για μια αρκετά μεγάλη χρονική περίοδο, αφού έπρεπε να περάσουν πάνω από χίλια χρόνια για να βρεθεί μια καλύτερη προσέγγιση. 

Πράγματι, πολύ αργότερα, ο Γάλλος μαθηματικός  Francois Viete (1540-1603), θεωρώντας ένα κανονικό πολύγωνο με 393.216 πλευρές (ξεκινώντας από ένα εξάγωνο και πραγματοποιώντας 16 διαδοχικούς διπλασιασμούς πλευρών) κατάφερε να υπολογίσει με ακρίβεια τα 9 πρώτα δεκαδικά ψηφία του π.

Προς τιμή λοιπόν του Zu Chongzhi:

• Ο αριθμός π= 355/113, ονομάζεται: λόγος Zu Chongzhi
• Ονμάστηκε Zu Chongzhi ένας κρατήρας στη σελήνη
• Ο αστεροειδής 1964VO1, ονομάστηκε: 1888 Zu Chongzhi

Επίσης, αξίζει να αναφέρουμε ότι η επόμενη μετά το
• π = 355/113,
• ρητή προσέγγιση του αριθμού π, είναι το κλάσμα:
  π = 52163/16604 = 3,14159238738

Αναφορές:

1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(19)  Συνεχίζεται...

ΚΙΝΑ (III)

   

                   O Liu Hui , θεωρείται ως ο πρώτος Κινέζος μαθηματικός, ο οποίος ασχολήθηκε διεξοδικά και συστηματικά με τον υπολογισμό του π. Έζησε τον τρίτο αιώνα μετά Χριστόν. 650 χρόνια λοιπόν μετά τους Έλληνες Αντιφώντα και Βρύσωνα, οι οποίοι προσπάθησαν να υπολογίσουν το εμβαδόν του κύκλου προσεγγίζονάς τον με διαδοχικά (αυξανόμενου αριθμού πλευρών) πολύγωνα, ο Liu Hui, επινόησε την ίδια μέθοδο με την οποία επεχείρησε να υπολογίσει το εμβαδόν του κύκλου.
        
              Το 263 μ.Χ. λοιπόν δημοσίευσε τη δική του μέθοδο της “εξάντ-λησης”.  Εξετάζοντας ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο 192 πλευρών στον κύκλο, βρήκε ότι η τιμή του π βρίσκεται στο διάστημα:

                                              3,141024 < π < 3,142704 

               Συνέγραψε σχόλια στο έργο “ Η αριθμητική σε εννιά μέρη” , τα οποία διασώθηκαν μέχρι τις μέρες μας. Σχολιάζοντας λοιπόν τα προβλήματα 31 και 32 του πρώτου κεφαλαίου του εν λόγω έργου, έδωσε για το π, τις “βελτιωμένες” προσεγγίσεις:

              π = 157/50 = 3,14     ,    και      π = 3927/1250 =,1416

         Το πρόβλημα 31 αναφέρεται στον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυκλικού αγρού με περιφέρεια 30 και διάμετρο 10, ενώ στο πρόβλημα 32 υπάρχει η διατύπωση: “ η επιφάνεια κύκλου ισούται με το μισό της περιφέρειας του κύκλου πολλαπλασιασμένο με το μισό της διαμέτρου του”

                Σύμφωνα με τους διάφορους ερευνητές κατέληξε στα συμπερά-σματά του ακολουθώντας την ίδια μέθοδο με τον Αντιφώντα και τον Βρύσωνα, την οποία (κατά πάσα πιθανότητα) επενόησε ο ίδιος 650 περίπου χρόνια μετά.

                    Για τις πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιούσε την τιμή:
                                            π = 157/50 = 3,14 

        Αναγνώριζε και υποστήριζε ότι όσο περισσότερο προχωράει η διαδικασία της “εξάντλησης” τόσο μεγαλώνει και η ακρίβεια στον υπολογισμό του π.
 

                                                

Υποστήριξε λοπόν πως αν κάποιος υπολογίσει την πλευρά ενός πολυγώνου με 1536 πλευρές, τότε μπορεί να βρει το εμβαδόν του πολυγώνου με 3072 πλευρές πετυχαίνοντας έτσι καλύτερη προσέγγιση για το π. Ο ίδιος δεν αναφέρει το αποτέλεσμα. Αν όμως γίνει ο υπολογισμός τότε προκύπτει η τιμή:

                                                      π = 3,14159


(Για μια αναλυτική παρουσίαση της μεθόδου του Liu Hui: Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf , σελίδα 45)

                Σε αντίθεση με τον Αρχιμήδη, ο Liu Hui χρησιμοποίησε μόνο εγγεγραμμένα πολύγωνα (ο Έλληνας σοφός χρησιμοποίησε και περιγεγραμμένα). Επίσης ενώ ο Αρχιμήδης (συνειδητά)  σταμάτησε στο 96-γωνο, ο Liu Hui, προχώρησε στο 192-γωνο, πετυχαίνοντας έτσι καλύτερη προσέγγισση.
   

                         

       Αναφορές:

1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001 

2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλω-ματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

3.  http://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui

4. http://www.chine-informations.com/guide/liu
-hui_3329.html

5.  http://www.chinaculture.org/gb/en_aboutchina/2003-     09/24/content_26269.htm

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(18)  Συνεχίζεται...

ΚΙΝΑ (ΙΙ)

Ο Chang Hong ( 78 – 139 μΧ.) ήταν υπουργός και αστρολόγος του αυτοκράτορα Αν-τι, στις αρχές του δεύτερου αιώνα μ. Χ. Γύρω στο 130 μ. Χ., στο έργο του με τον τίτλο Ling Hsin, το οποίο κατά βάση ήταν αστρονομικό, ανέπτυξε τη θεωρία του για τη δημιουργία του Σύμπαντος. Στο συγκεκριμένο λοιπόν έργο λέγεται ότι απέδειξε την πρόταση:

“ Το πηλίκο του τετραγώνου της περιφέρειας του κύκλου προς το τετράγωνο της περιμέτρου του τετραγώνου που είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο, ισούται με 5 /8.”

Έτσι αν θεωρήσουμε ένα κύκλο με διάμετρο ίση με τη μονάδα, η περίμετρος του περιγεγραμμένου τετραγώνου θα είναι ίση με 4, οπότε, σύμφωνα με την πρόταση του Chang Hong, θα είναι:

π² /16 = 5/8 , ή π² = 10 , ή π = (10)^1/2,, ή π = 3,162

Η τιμή λοιπόν αυτή παρότι είναι αρκετά ανακριβής, ίσως λόγω της απλότητάς της (τετραγωνική ρίζα του 10), παρέμεινε ως η δημοφιλέστερη

προσέγγιση του π στην Ασία, για πολλά χρόνια μετά το θάνατο του Chang Hong. Έτσι αν θεωρήσουμε ένα κυκλικό κτίριο με διάμετρο d = 20 m, τότε η περιφέρειά του θα “αποκλίνει” περίπου κατά 40 εκατοστά, ενώ το εμβαδόν του θα αποκλίνει κατά περίπου 2 τετραγωνικά μέτρα.

Αργότερα ο Κινέζος αστρονόμος, Wang Fan (219 – 257 μΧ.), χρησιμοποίησε μια καλύτερη προσέγγιση για το π. Υποστήριξε πως αν η περιφέρεια ενός κύκλου είναι 142, τότε η διάμετρός του είναι 45. Δεν είναι γνωστό με πιο τρόπο κατέληξε σ΄αυτό το συμπέρασμα. Πάντως αν διαρέσουμε το 142 με το 45 βρίσκουμε την τιμή 3,156, που ήταν η τιμή του π κατά τον Wang Fan. (Θυμηθήτε ότι: Γ = 2 π R = π d).

Αναφορές:

1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001
2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλω-ματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(17)  Συνεχίζεται...

Κινέζοι μαθηματικοί

2^oς- 8^ος ΑΙΩΝΑΣ ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ

Από τον δεύτερο μ. Χ. αιώνα και μέχρι τον όγδοο, στην Κίνα και στην Ινδία πραγματοποιείται σημαντική επιστημονική πρόοδος. Την ίδια περίοδο την Ευρώπη μαστίζουν διάφορες θρησκευτικές και πολιτικές διαμάχες που λειτουργούν σαν τροχοπέδη τόσο στην εξέλιξη όσο και στην ελεύθερη διακίνηση των ιδεών. Την περίοδο λοιπόν αυτή η Κίνα και η Ινδία αναγορεύονται σε δύο από τα σπουδαιότερα κέντρα ανάπτυξης της Μαθηματικής γνώσης.

ΚΙΝΑ

Είναι γνωστόν ότι τα Μαθηματικά , και μαζί και οι υπόλοιπες επιστήμες,“άνθισαν” στην αρχαία Κίνα ήδη από τα πανάρχαια χρόνια. Παρότι λοιπόν οι Κινέζοι ήδη από το 1200 πΧ. περίπου είχαν πραγματοποιήσει αρκετές έρευνες και είχαν προοδεύσει στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούσαν (και συνέχισαν να χρησιμοποιούν για 12 περίπου αιώνες μετά) την τιμή 3, σαν προσέγγιση για το π.

Πληροφορίες για τα αρχαία Κινεζικά Μαθηματικά παίρνουμε από το σύγγραμμα “Ιερόν βιβλίον της Αριθμητικής”, που γράφτηκε (όπως εικάζεται) από το 1100 πΧ περίπου, και μέχρι το 250 πΧ. Σ΄αυτό, τα διάφορα μαθηματικά αποτελέσματα δίνονται με τη μορφή συμπερασμάτων, χωρίς την απιτούμενη απόδειξη ή αιτιολόγηση, γεγονός που πιθανόν σημαίνει ότι κάποια από αυτά (ίσως) προστέθηκαν αργότερα κατά την περίοδο σχολιασμού ή αναδημοσίευσης του συγγράμματος. (Το έργο σχολιάστηκε την περίοδο από το 200 πΧ μέχρι το 250 μΧ. περίπου και αναδημοσιεύθηκε γύρω στα 600 μΧ. Έτσι οι Κινέζοι άρχισαν να ασχολούνται σοβαρά με τον τετραγωνισμό του κύκλου και τον προσδιορισμό του π μετά τον 1^ο αιώνα μετά Χριστόν.

Στις αρχές λοιπόν του Πρώτου αιώνα μετά Χριστόν, ο Κινέζος μαθηματικός Liu Hsiao, προσέγγιζε το π με την τιμή π=3,1547. Όμως επειδή δεν υπάρχουν καθόλου στοιχεία παραμένει παντελώς άγνωστη η μέθοδος που χρησιμοποίησε για να πάρει την τιμή αυτή.

Αναφορές

1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001
2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
   
   
   
   

   Γιάννης Φιορεντίνος
   ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

   
   

   
   
   

   
   
   (16)  Συνεχίζεται...

Ο Αρχιμήδης και μνημονικοί κανόνες για τον πι σε διάφορες γλώσσες

Για λεπτομέρειες δείτε το άρθρο Piphilology στη Wikipedia.


Όπως βλέπετε, σε μερικούς, γίνεται άμεση, ή έμμεση αναφορά (σοφός), στον Αρχιμήδη!

Αγγλικά 
[επίτηδες ανορθόγραφα γραμμένο το όνομα του Αρχιμήδη για να βγει το νούμερο 9]
How I wish I could recollect, of circle round, the exact relation Arkimedes learned
3,1415926535897
(Πόσο θα  'θελα να θυμάμαι από τον στρογγυλό κύκλο την ακριβή σχέση που γνωρίζει ο Αρχιμήδης_


Γαλλικά
Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur?
3,141592653587932384626
(Πώς μ' αρέσει να διδάσκω αυτό το χρήσιμο στους σοφούς αριθμό.
Αθάνατε Αρχιμήδη, καλλιτέχνη, μαθηματικέ,
κατά τη γνώμη σου ποιος θα μπορούσε να υπολογίσει την αξία του;) 

Γερμανικά
Wie, o dies π macht ernstlich so vielen viele Müh
3,141592653
(Πώς, ώ αυτό το πι όντως δημιουργεί σε τόσο πολλούς τόσο μεγάλο πρόβλημα.)

Ιταλικά
Che n’ ebbe d’ utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta?
3,14159265358
(Τι καλό βρήκε ο Αρχιμήδης από τη μεγάλη του ανακάλυψη τα κάτοπτρα που πυρπολούν;)
Στα ελληνικά τα λέμε "ηλιακά κάτοπτρα".

Πορτογαλέζικα
Sim, é útil e fácil memorizar um número grato aos sábios.
3,1415926535
(Ναι, είναι χρήσιμο να απομηνημονεύσεις έναν αριθμό χρήσιμο στους σοφούς.)

Ρουμάνικα
Aşa e bine a scrie renumitul şi utilul număr.
3,14159265
(Αυτός είναι ο τρόπος να γράψεις το φημισμένο και χρήσιμο αριθμό)

Ρώσικα
Это я знаю и помню прекрасно
3,14159
(Αυτό το ξέρω  και το θυμάμαι τέλεια.)   

Ο Αρχιμήδης (V)

ΕΡΓΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ ΠΟΥ  ΔΙΑΣΩΘΗΚΑΝ:

( Από την Βικιπαίδεια )

• Περί σφαίρας και κυλίνδρου" Βιβλίο α' και β'
• "Κύκλου μέτρησις" Σώζονται τρία θεωρήματα.
• "Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων" (32 θεωρήματα, 1 πόρισμα)
• "Περί ελίκων" (28 θεωρήματα, 6 πορίσματα)
• "Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά" Βιβλ. α' και β'.
  

• "Βιβλίο λημμάτων"
• "Πρόβλημα Βοεικόν"
• "Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνου"
• "Ωρολόγιον Αρχιμήδους" (Σώζεται στα αραβικά)
• "Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλων"
• "Αρχαί της Γεωμετρίας"
• "Ψαμμίτης"
• "Τετραγωνισμός παραβολής"
  

Πρόσφατα (2006) διαβάστηκαν από το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη αποσπάσματα από τα έργα που διασώθηκαν σε αυτό:

• "Οστομάχιον"
• "Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (=μέθοδος)
• "Περί των επιπλεόντων σωμάτων"
• "Οχουμένων" (Υδροστατική επιπλεόντων σωμάτων)
  

ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΔΙΑΣΩΘΕΙ

( Από την Βικιπαίδεια )

• "Αριθμητικά"
• "Βαρουλκός, Υδροσκοπίαι, Πνευματική"
• "Επισίδια Βιβλία" (Μάλλον περί στατιστικής - Τζέτζης)
• "Περί τριγώνων"
• "Περί τετραπλεύρου"
• "Περί ζευγών"
• "Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων"
• "Ισοπεριμετικά"
• "Ισορροπίαι"
• "Καύσις δια κατόπτρων" (επ΄ αυτού έγινε επιτυχές πείραμα στο Ν.Σ.)
• "Περί Αρχιτεκτονικής"
• "Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα)
• "Περί δρομομέτρων" (Οδόμετρα πλοίων)
• "Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικά"

• "Κατοπρικά"
• "Περί παραλλήλων γραμμών"
• "Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρων"
• "Προοπτική"
• "Στοιχεία μηχανικών"
• "Πλινθίδες και Κύλινδροι"
• "Στοιχεία επί των στηρίξεων"
• "Σφαιροποιΐα"
  

ΕΦΕΥΡΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ

( Από την Βικιπαίδεια )

• "Αραιόμετρο - Πυκνόμετρο"
• "Αστρονομική συσκευή"
• "Βαρουλκός"
• "Γερανοί" (Αρπάγες)
• "Καταπέλτες"
• "Κάτοπτρα"
• "Κοχλίας ή έλιξ"
• "Οδόμετρο (δρομόμετρο)"
• "Πλανητάριον (σφαίρα)
• "Πολύσπαστον" (Βαρούλκο), "τρίσπαστο"
• "Σίφων"
• "Οστομάχιον" (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ)
• "Τηλεβόλον Αρχιμήδους"
• "Χαριστίων" (μοχλός)
• "Ωρολόγιο υδραυλικό"  
  
  
  Μπορείτε να δείτε επίσης:

Παλίμψηστο του Αρχιμήδη

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(14)  Συνεχίζεται...

Ο Αρχιμήδης (ΙV)

Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων, και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος. Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος). Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία. Συγκεκριμένα έκφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών εφαρμόζοντας “απειροστικές” μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών.

Από: http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_syrakoysios.php

Δείτε επίσης: Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί,

Με μια σειρά από εξαιρετικές (για τη μέθοδό τους, την πρωτοτυπία τους και τα αποτελέσματά τους) μελέτες κατάφερε να υπολογίσει το εμβαδόν του κύκλου, της έλλειψης και της παραβολής, το εμβαδόν της επιφάνειας κυλίνδρου, κώνου και σφαίρας, καθώς και τον όγκο των προαναφερθέντων στερεών σωμάτων. Απέδειξε ότι μια σφαίρα έχει όγκο ίσο με τα 2/3 του όγκου του κυλίνδρου, στον οποίο είναι εγγεγραμμένη. Επίσης ότι και η επιφάνεια της σφαίρας ισούται με τα 2/3 της επιφάνειας του περιγεγραμμένου κυλίνδρου (του κυλίνδρου που την περιβάλλει και στον οποίο η σφαίρα είναι εγεγραμμένη).

 

Η εικόνα ενός κυλίνδρου με την εγγεγραμμένη σφαίρα χαράκηκε στον τάφο του Αρχιμήδη, αφού ο ίδιος είχε εκφράσει αυτή την επιθυμία, θεωρώντας την απόδειξή του αυτή ως ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματά του.

To 1965 ένας εκσκαφέας σκάβοντας για τη θεμελίωση ενός νέου ξενοδοχείου στις Συρακούσες, σήκωσε μία ταφόπετρα με σκαλισμένο πάνω της το σχήμα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο . Έτσι ανακαλύφτηκε ο τάφος του Αρχιμήδη. ( Από την Βικιπαίδεια )

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(13)  Συνεχίζεται...