Ο υπερβατικός αριθμός π: Ιουλίου 2012

Στη διάρκεια του δέκατου έβδομου αιώνα έζησαν και πολλοί άλλοι σπουδαίοι μαθηματικοί, όπως ο Blaise Pascal, o Johannes Kepler, o Bonaventura Cavalieri, o Pierre de Fermat, οι οποίοι εκτός των άλλων συνεισφορών τους πλησίασαν αρκετά τις ιδέες του επερχόμενου απειροστικού λογισμού.

Blaise Pascal

Johannes Kepler

Bonaventura Cavalieri

Pierre de Fermat

Ένας ακόμη μαθηματικός που συνεισέφερε σημαντικά στη διερεύνηση του π αλλά και στην εξέλιξη του απειροστικού λογισμού είναι και ο James Gregory (1638-1675). Πριν τον πρόωρο θάνατό του (το 1675 σε ηλικία μόλις 36 ετών), βρήκε μια απλή και έξυπνη λύση για τον υπολογισμό του τόξου της εφαπτομένης [τοξεφ(χ) ή arctan(x)], δηλαδή τη σειρά του τόξου εφαπτομένης, που φέρει και το όνομά του:

(1)

(σειρά του Gregory)

O Gregory ανακάλυψε ότι το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/(1+χ^2) , στο διάστημα (0,1) είναι ίσο με τοξεφ(χ) ή arctan(x). Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cavalieri κατέληξε στη φερώνυμη σειρά του για το τοξεφ(χ).Βρήκε δηλαδή αυτό που σήμερα γράφουμε ως:

(2)

Η σειρά λοιπόν (1) του Gregory διατυπώθηκε το 1671 και σήμανε την απαρχή μιας νέας εποχής για τον υπολογισμό του π. Τη σχέση έχει όμως η εν λόγω σειρά με το π; Η απάντηση είναι πολύ απλή. Αν θέσουμε x=1, τότε έχουμε: τοξεφ(1) = π/4. Έτσι λοιπόν η σειρά (1), για x = 1, δίνει:

(3)

Η σειρά (3) αποτελεί και την πρώτη απειροσειρά που βρέθηκε για το π. Όσο κι αν φαίνεται παράξενο, ο ίδιος ο Gregory δεν έκανε ποτέ την αντικατάσταση x = 1 και έτσι δεν χρησιμοποιεί πουθενά αυτόν τον υπολογισμό του π. Η εφαρμογή της σειράς (1) του Gregory για x = 1 (σχέση 3), έγινε από τον Leibniz στα 1674 και δημοσιεύθηκε το 1682 και γι αυτό η σειρά (3) ονομάζεται σειρά του Leibniz. Ενδεχομένως ο Gregory να είχε παρατηρήσει το πόσο πολύ αργά συγκλίνει η σειρά του και γι αυτό να μην θεώρησε σκόπιμο να την χρησιμοποιήσει για την εύρεση του π. (Ο ίδιος είχε εισάγει την έννοια της σύγκλισης). Για να αντιληφθούμε το πόσο αργά συγκλίνει η εν λόγω σειρά αρκεί να σκεφτούμε ότι ακόμα και για τον προσδιορισμό των δύο πρώτων δεκαδικών ψηφίων του π απαιτούνται 300 όροι της σειράς (Και να φαντασθεί κανείς ότι η τιμή 3,14 είναι λιγότερο ακριβής της τιμής 3 και 1/7 το Αρχιμήδη).

Ο Thomas De Lagny, ο οποίος υπολόγισε 117 ψηφία του π, ανέφερε ότι για τον υπολογισμό 100 δεκαδικών ψηφίων του π θα απαιτούνταν πάνω από 10^50 (1 ακολουθούμενο από 50 μηδενικά) όροι της σειράς! Έτσι λοιπόν παρ όλη την ομορφιά και την απλότητά της η σχέση (3) είναι στην ουσία άχρηστη για τον υπολογισμό των ψηφίων του π.

Thomas De Lagny