Τετάρτη, 28 Δεκεμβρίου 2011

10.000.000.000.000 ψηφία του π



Πριν από ένα χρόνο περίπου, στην ανάρτηση με τίτλο:
Δηλαδή είναι πολλά τα 5.000.000.000.000 ψηφία του π”,
 είδαμε ότι οι A. J. Yee και S. Kondo, είχαν καταγράψει τα πρώτα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία του π.
 Οι ίδιοι λοιπόν κυνηγοί ψηφίων του π “επανήλθαν” και ανακοίνωσαν ότι πλέον
 έχουν καταγεγραμμένα τα 10 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Για το επίτευγμά τους αυτό χρησιμοποίησαν, όπως οι ίδιοι αναφέρουν, το ίδιο σύστημα που είχαν χρησιμοποιήσει για το προηγούμενο ρεκόρ τους και απλά χρειάσθηκε να περιμένουν περισσότερο χρόνο.
        Το σύστημά τους, είχε τα παρακάτω χαρακτηριστικά, όπως αναφέρουν στην ιστοσελίδα τους:
Processor
2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded)
Memory
96 GB DDR3 @ 1066 MHz - (12 x 8 GB - 6 channels)
Motherboard
        Asus Z8PE-D12
Hard Drives
        1 TB SATA II (Boot drive)

        5 x 2 TB SATA II (Store Pi Output)

        24 x 2 TB SATA II (Computation) - various models

Raid Controller
         3 x LSI MegaRaid SAS 9260-8i
Operating System
         Windows Server 2008 R2 Enterprise x64

Built By
Shigeru Kondo

 






Δηλαδή είναι πολλά τα 10.000.000.000.000 ψηφία;
          Έχουμε ήδη αναφέρει ότι η χρήση και μόνον 38 δεκαδικών ψηφίων του π, μας εξασφαλίζει εξαιρετική ακρίβεια, ακόμα κι' αν αναφερόμαστε σε μεγέθη που αφορούν σε ολόκληρο το Σύμπαν. Από την άλλη μεριά,  είναι  ήδη γνωστά ( Οκτώβρης 2011) τα πρώτα 10 τρισεκατομμύρια (1013) ψηφία του π. Για να καταλάβουμε  το μέγεθος αυτό ας δούμε τα παρακάτω:
  1.  Αν εκφωνούσαμε 1 ψηφίο του π ανά sec, χωρίς διακοπή, θα θέλαμε:
                                   1013/(3,15.107)=317.460 χρόνια
           για να απαγγείλουμε όλα τα μέχρι τώρα γνωστά ψηφία του π.
      ii) Ας υποθέσουμε ότι αποφασίζουμε να καταγράψουμε όλα αυτά τα ψηφία, γράφοντας 50 ψηφία σε κάθε 10cm, (δηλαδή με πυκνότητα 5ψηφία/cm). Τότε η γραμμή που θα σχηματιζόταν θα είχε μήκος:
                               1013 /5 = 2.1012cm =2.1010m = 2.107 km  
                                  
     Αν αναλογισθούμε ότι η (μέση) απόσταση Γης – Σελήνης είναι περίπου 380000 km, καταλαβαίνουμε το τεράστιο μήκος που θα είχε αυτή η “ταινία” με τα καταγεγραμμένα ψηφία του π. (Πάνω από 52 φορές την απόσταση  Γης – Σελήνης).
       iii)  Αν αποφασίζαμε να “αποθηκεύσουμε”τον αριθμό σ' ένα σκληρό δίσκο, αυτός θά είχε μέγεθος της τάξης των 20ΤΒ (1ΤΒ = 240 bytes). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στη σχετική ιστοσελίδα: 

Round 2... 10 Trillion Digits of Pi

 http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html

(Οι κάτοχοι πάντως του ρεκόρ A. J. Yee  και  S. Kondo αναφέρουν ότι για την αποθήκευση των ψηφίων σε μορφή ασυμπίεστου ascii αρχείου, θα απαιτούντο  16,6 ΤΒ αποθηκευτικού χώρου).
     iv) Αν “κατεβάζαμε” τον αριθμό σ' έναν υπολογιστή τότε μετά το πάτημα του πλήκτρου “αποθήκευση”, θα έπρεπε να περιμένουμε (ανάλογα και με την ταχύτητα της σύνδεσης και  του μηχανήματος) πάνω από 40 μέρες μέχρι να ολοκληρωθεί η διαδικασία.

  Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (32)  Συνεχίζεται...

Δευτέρα, 19 Δεκεμβρίου 2011

16ος- 17ος Αιώνας (IV)



 Ένα αξιοσημείωτο γεγονός για την περίοδο στην οποία αναφερόμαστε είναι και το ότι ξεκινάει το ενδιαφέρον για την ιστορία του αριθμού π. Έτσι λοιπόν το 1559 κάνει την εμφάνισή του το βιβλίο:
 “De quadratura circuli”, του Johannes Buteo (1492-1572 μΧ). 
Στο βιβλίο αυτό, το πρώτο που διαπραγματεύεται την  ιστορία του π, μνημονεύονται οι προσπάθειες που έγιναν κατά την αρχαιότητα και τον μεσαίωνα για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Με την ιστορία του π ασχολήθηκε επίσης και ο φιλόλογος Joseph Scalinger (1540-1609 μΧ), στο βιβλίο του “Cyclometria Elementa”, που εξεδόθη το 1594. Στο συγκεκριμένο βιβλίο περιέχεται και ο εσφαλμένος ισχυρισμός του συγγραφέα, ότι εφ' όσον η περίμετρος ενός κανονικού δωδεκαγώνου υπερβαίνει την περίοδο του κύκλου, δεν υπάρχει λόγος να διπλασιάσει κανείς τις πλευρές για να προχωρήσει περαιτέρω...



       
             Στο τέλος του 16ου αιώνα τρεις ακόμα μαθηματικοί εφάρμοσαν την μέθοδο του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό των ψηφίων του π. Πρώτα ο Ολλανδός μαθηματικός Αντριάν Αντόνιτς, χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα, κατάφερε να αποδείξει ότι:
                                           377/120 > π >336/106
                                                                   ή
                                             3,14167 > π > 3,14151
    Περίπου οχτώ χρόνια μετά, ένας άλλος Ολλανδός μαθηματικός ο Αντριάν Ρομάνους, χρησιμοποιώντας ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο με περισσότερες από 100.000.000 πλευρές κατάφερε να υπολογίσει 15 δεκαδικά ψηφία του π.
       

     Τέλος ο Λούντολφ φαν Σόιλεν (Ludolph van Ceulen), αφιερώνοντας πολλά χρόνια από τη ζωή του κατάφερε να υπολογίσει είκοσι δεκαδικά ψηφία του διάσημου υπερβατικού αριθμού. Για το επίτευγμά του αυτό στηρίχθηκε στη μέθοδο του Αρχιμήδη, κάνοντας χρήση πολυγώνων με περισσότερες από 32.000.000.000 πλευρές το καθένα! Μέχρι το 1610 που πέθανε, ο φαν Σόιλεν είχε καταφέρει να υπολογίσει 35 ψηφία του π, στηριζόμενος στις ίδιες ιδέες και μεθόδους που χρησιμοποιούσαν οι μαθηματικοί επί δύο χιλιάδες χρόνια. Το κατόρθωμά του, υπήρξε αποτέλεσμα τεράστιας αντοχής και Ιώβειας υπομονής. Δέκα χρόνια όμως μετά τον θάνατο του φαν Σόιλεν, σημειώθηκε μια αλματώδης πρόοδος στον υπολογισμό του π.  Έτσι από ειρωνεία της τύχης, η μακρόχρονη κοπιώδης μελέτη του, έμοιαζε τελικά μόλις δέκα χρόνια μετά την εμφάνισή της εντελώς παρωχημένη.







         




Βιβλιογραφία - Αναφορές
   1. David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001               
       
      2. Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf
                                          


   Γιάννης  Φιορεντίνος      
 ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική  
      (31)  Συνεχίζεται...