Σάββατο, 26 Φεβρουαρίου 2011

Ο Αρχιμήδης (ΙΙI)



Ο Αρχιμήδης όμως ήταν επίσης και σπουδαιότατος μαθηματικός (ίσως ο μεγαλύτερος της αρχαιότητας). Έστρεψε την προσοχή του και στην μέτρηση του μήκους της περιφέρειας κύκλου, χρησιμοποιώντας την μέθοδο της εξάντλησης, όπως είχαν κάνει ο Αντιφών και ο Βρύσων 200 περίπου χρόνια πριν απ΄ αυτόν. Αντί όμως να επικεντρωθεί στα εμβαδά των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων πολυγώνων έστρεψε την προσοχή του στη μέτρηση της περιμέτρου των και βρήκε κατ΄αυτό τον τρόπο (κατά προσέγγιση) την περιφέρεια του κύκλου.

Ξεκινώντας από ένα εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο εξάγωνο, και διπλασιάζοντας τις πλευρές τους 4 φορές κατέληξε σε δύο 96-γωνα (6Χ24 = 96) και υπολόγισε τις περιμέτρους τους. Με αυτό τον τρόπο βρήκε για το π την τιμή 3,1419 που διαφέρει μόνο κατά τρία δεκάκις χιλιοστά από την πραγματική τιμή του π.

Στο (διασωθέν) έργο του “Κύκλου Μέτρησις” και στην πρόταση 3, ο Αρχιμήδης αναφέρει: «Παντός κύκλου η περίμετρος της διαμέτρου εστί και έτι υπερέχει ελάσσονι μεν ή εβδόμω μέρει της διαμέτρου, μείζονι δε ή δέκα εβδομηκοστομόνοις ». Δηλαδή το πάνω και το κάτω όριο του π είναι το 3 + 1/7 = 22/7 και το 3 + 10/71 = 223/71. Ή διαφορετικά (σε δεκαδική μορφή)

3,140845 <π <3,142857.

Υπολογίζοντας λοιπόν τον “μέσο όρο” των δύο αυτών τιμών παίρνουμε για το π την τιμή 3,1419 που προαναφέρθηκε. Να πούμε εδώ ότι υπάρχει μια ιστορική διαμάχη για το κατά πόσο ο ίδιος ο Αρχιμήδης ή ο κατά 30 χρόνια νεώτερος Απολλώνιος ο Περγαίος υπολόγισαν το κατώτερο όριο του π, βασιζόμενοι στο έργο “Κύκλου Μέτρησις”.
 
 Βιβλιογραφικές αναφορές
David Blatner, Η χαρά του π, (μετάφραση του: The joy of π), εκδόσεις Ωκεανίδα, Αθήνα 2001
Ο μηδέν, ο π, ο e, ο i και η συγκατοίκηση, Ανδρέας Ι. Κασσέτας, http://users.sch.gr/kassetas/ed0math23.htm

Η ιστορία του π, Παρασκευή Αρώνη, Μεταπτυχιακή Διπλωματική εργασία, http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(12)  Συνεχίζεται...

Παρασκευή, 18 Φεβρουαρίου 2011

Ο Αρχιμήδης (ΙΙ)



Κατασκεύασε διάφορες μηχανές, ένα τύπο πολύσπαστου, ενώ εφηύρε και τον “ατέρμονα κοχλία”,

με την βοήθεια του οποίου κατασκεύασε μια αντλητική μηχανή. Λέγεται ότι κατά την πολιορκία των Συρακουσών πυρπόλησε το ρωμαϊκό στόλο, συγκεντρώνοντας πάνω στα πλοία τις ακτίνες του Ήλιου, χρησιμοποιώντας παραβολικά κάτοπτρα.

Όταν τελικά οι Ρωμαίοι μπήκαν στην πόλη, ο στρατηγός Μάρκελλος είχε δώσει εντολή στους στρατιώτες του να μην πειράξουν τον Αρχιμήδη και το σπίτι του. 

Ένας Ρωμαίος οπλίτης βρήκε το μεγάλο σοφό στον κήπο του σπιτιού του να χαράζει γεωμετρικά σχήματα, βυθισμένος στις σκέψεις του. “Μη μου τους κύκλους τάραττε!” πρόλαβε να πει ο Αρχιμήδης. Ο άξεστος όμως στρατιώτης, μη γνωρίζοντας ποιον είχε μπροστά του, τον σκότωσε με το ξίφος του.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ:
http://el.wikipedia.org/wiki/Αρχιμήδης
http://www.freeinquiry.gr/pro.php?id=1865
http://www.phorum.gr/viewtopic.php?t=185672
http://www.hellenica.de/Griechenland/Archimedes/Mathematik/DeathOfArchimedes.jpg

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(11)  Συνεχίζεται...

Σάββατο, 12 Φεβρουαρίου 2011

Ο Αρχιμήδης


Διακόσια περίπου χρόνια μετά τον Αντιφώντα και τον Βρύσωνα αναλαμβάνει δράση ο Αρχιμήδης. Ο Αρχιμήδης (287 πΧ. - 212 πΧ.) ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, φυσικούς, μηχανικούς και εφευρέτες της αρχαιότητας. Ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία και συγγενής του βασιλιά (τυράννου) των Συρακουσών Ιέρωνα του Α΄. (Μάλιστα στον υιό του Ιέρωνα ο Αρχιμήδης αφιέρωσε το σπουδαιότατο σύγγραμμά του “Ψαμμίτης”). Από τον πατέρα του Φειδία, όπως ο ίδιος ο Αρχιμήδης αναφέρει, διδάχθηκε την Αστρονομία.
Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες, την σπουδαία αυτή Ελληνική αποικία της Σικελίας. Ο Αρχιμήδης είναι κυρίως γνωστός από το γεγονός ότι καθώς πλενόταν ανακάλυψε την αρχή της άνωσης ( που σήμερα είναι γνωστή σαν αρχή του Αρχιμήδη στην υδροστατική), οπότε και πετάχτηκε από την μπανιέρα του και άρχισε να τρέχει γυμνός στους δρόμους φωνάζοντας “Εύρηκα”. Παράλληλα όμως ήταν ευφυέστατος μαθηματικός και φυσικός και ικανότατος μηχανικός και εφευρέτης. Στη φυσική και την μηχανική μελέτησε διεξοδικά τις τροχαλίες και τους μοχλούς. Όταν ανακάλυψε την τεράστια δύναμη των μοχλών είπε το περίφημο: “δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω.” (Δώσε μου ένα σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω τη Γη.)

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

(10)  Συνεχίζεται...

Δείτε επίσης την ανάρτηση

Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

με όλες τις βασικές του ανακαλύψεις.

Το περίφημο απόφθεγμα του Αρχιμήδη για τη δύναμη των μοχλών (και του ανθρώπινου μυαλού, όταν σκέπτεται επιστημονικά) κοσμεί και το σήμα
του

Κέντρο Έρευνας και Τεχνολογίας Στρατού





Παρασκευή, 4 Φεβρουαρίου 2011

Ο Αντιφών και ο Βρύσων


Ο Αντιφών (γύρω στα 430 πΧ.), ήταν σοφιστής και φιλόσοφος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου. Επιχείρησε να υπολογίσει το εμβαδόν του κύκλου χρησιμοποιώντας την περίφημη "μέθοδο της εξάντλησης". Αν πάρουμε ένα εξάγωνο εγγεγραμμένο σ΄ένα κύκλο και διπλασιάσουμε τις πλευρές του (12-γωνο), κατόπιν διπλασιάσουμε ξανα τις πλευρές (24-γωνο) και συνεχίσουμε έτσι το διπλασιασμό των πλευρών σε κάθε βήμα, τότε εργά ή γρήγορα το πολύγωνο θα τείνει να γίνει κύκλος.
Ο Βρύσων από την Ηράκλεια, μια γενιά μεταγενέστερος του Αντιφώντα, προχώρησε σε μια ακόμα "επαναστατική" κίνηση. Υπολόγισε τα εμβαδά δύο πολυγώνων ενός εγγεγραμμένου και ενός περιγεγραμμένου στον κύκλο. Στη συνέχεια υπέθεσε ότι το εμβαδόν του κύκλου θα είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του εγγεγραμμένου πολυγώνου και μικρότερο από το εμβαδόν του περιγεγραμμένου. Ακολούθως διπλασιάζοντας τις πλευρές των (εγγεραμμένων και περιγε-γραμμένων) πολυγώνων μπορούσε, σε κάθε βήμα διπλασιασμού, να προσεγγίσει με όλο και μεγαλύτερη ακρίβεια το εμβαδόν του κύκλου. Ίσως αυτή να είναι και η πρώτη φορά που το εμβαδόν ορίζεται μέσω ανωτάτων και κατωτάτων ορίων.
Οι προσπάθειες τόσο του Αντιφώντα όσο και του Βρύσωνα δεν έτυχαν της δέουσας προσοχής. Ο Αριστοτέλης μάλιστα τις χαρακτήρισε ως ανάξιες ακόμα και για συζήτηση. Αργότερα όμως αποτέλεσαν το "εφαλτήριο" στις προσπάθειες του Αρχιμήδη για τον τετραγωνισμό του κύκλου και τον προσδιορισμό του π.

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...