Παρασκευή, 28 Ιανουαρίου 2011

Ιπποκράτης ο Χίος



Έζησε στο χρονικό διάστημα 470 - 400 π.Χ.
Γεννήθηκε στη Χίο. Ο Αριστοτέλης στα "Ηθικά Ευδήμεια" αναφέρει ότι αρχικά ήταν έμπορος ή εφοπλιστής, ενώ στα "Μετεωρολογικά" του τον κατατάσσει ως υσοϋψή του Αναξαγόρα του Δημοκρίτου και των κορυφαίων Πυθαγορείων φιλοσόφων. Ο Πλούταρχος στο "Βίοι παράλληλοι" τον αναφέρει ως μαθηματικό και έμπορο. Ο Πρόκλος τον χαρακτηρίζει ως σπουδαίο μαθηματικό.
Ασχολήθηκε εμπεριστατωμένα με την Γεωμετρία, όντας ο πρώτος που έγραψε βιβλίο γεωμετρίας και που χρησιμοποίησε γράμματα για να ονομάσει τα σημεία, τα ευθύγραμμα τμήματα και τα σχήματα. Περί το 430 π.Χ. παρακολούθησε μαθήματα μαθηματικών και φιλοσοφίας στην Αθήνα, όπου και αργότερα δίδαξε γεωμετρία.
Η συμβολή του στη γεωμετρία συνοψίζεται στα παρακάτω:
  • Συνέγραψε τα πρώτα "Στοιχεία Γεωμετρίας" , μια συστηματικά οργανωμένη πραγματεία γεωμετρίας όπου "τακτοποιούσε" κάποια θεωρητικά ζητήματα. [Πρόκλος]
  • Ασχολήθηκε με το πρόβλημα του "διπλασιασμού του κύβου" (δηλαδή την κατασκευή της κυβικής ρίζας του 2) - ένα από τα μεγάλα μαθηματικά προβλήματα της αρχαιότητας, γνωστό και ως Δήλιον πρόβλημα.
  • Ασχολήθηκε με τον "τετραγωνισμό του κύκλου" , από την μελέτη του οποίου οδηγήθηκε στον τετραγωνισμό ενός μηνίσκου. Συγκεκριμμένα στο μοναδικό απόσπασμα των "Στοιχείων" του Ιπποκράτη που διασώθηκε ενσωματωμένο στο έργο του Συμπλίκιου, υπολογίζει το εμβαδόν των σχημάτων που σήμερα είναι γνωστά ως "Μηνίσκοι του Ιπποκράτους"
  • Στην Αστρονομία επιχείρησε να εμηνεύσει την εμφάνιση των κομητών και του Γαλαξία.

    Γιάννης Φιορεντίνος
    ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

    Συνεχίζεται...

Τετάρτη, 19 Ιανουαρίου 2011

Ο προσωκρατικός φιλόσοφος Αναξαγόρας





Ο Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές της Ιωνίας (500 - 428 πΧ.), ήταν ο πρώτος Έλληνας που προσπάθησε να βρει τη σχέση που συνδέει την περίμετρο ενός κύκλου με την διάμετρό του (προσδιορίζοντας κατ΄αυτό τον τρόπο την τιμή του π ). Σύμφωνα με όσα αναφέρει ο Πλούταρχος στο έργο του "Βίοι", στο διάστημα που ο Αναξαγόρας ήταν στη φυλακή -επειδή δίδασκε πως ο ήλιος δεν είναι κάποιος θεός- επεξεργάσθηκε ένα τρόπο κατασκευής ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με αυτό ενός δοθέντος κύκλου. Όμως ο Πλούταρχος δεν δίνει παραπέρα πληροφορίες για την μέθοδο που χρησιμοποίησε ο Αναξαγόρας.

Από το έργο του Αναξαγόρα , περί Φύσεως, δυστυχώς σώζονται ελάχιστα αποσπάσματα , στα οποία ο φιλόσοφος περιγράφει σωστά το φαινόμενο των εκλείψεων της σελήνης και του ηλίου. Πίστευε ότι η άτακτη, αδιαμόρφωτη και ανάμικτη ύλη του Σύμπαντος ετέθη σε τάξη από ένα «Νουν», ο οποίος δημιούργησε την τάξη την ενότητα και την αρμονία. ( Για περισσότερες πληροφορίες τόσο γαι τον Αναξαγόρα όσο και τους άλλους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και γενικότερα πνευματικούς ανθρώπους, αξίζει να πλοηγηθεί κανείς στην ιστοσελίδα: http://www.mousa.gr/html/anaksagoras.html)

Ο Αναξαγόρας ενδιαφερόταν ταυτόχρονα για πολλα πράγματα και έτσι ασχολήθηκε με πολλούς κλάδους της επιστήμης ( μαθηματικά, αστρονομία, φυσική, ιατρική) καθώς και με την κοσμογονία, όπου επεξεργάσθηκε μια δική του θεώρηση για την ύλη και τα στοιχεία που την απαρτίζουν. Πίστευε επίσης ότι όλες οι αρρώστιες προέρχονται από την χολή, καθώς επίσης ότι το έμβρυο τρέφεται δια του οφθαλμού.
Για περισσότερες πληροφορίες: http://www.livepedia.gr/index.php/Αναξαγόρας.

ΟΛΑ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΗΤΑΝ ΜΑΖΙ, ΚΑΤΟΠΙΝ ΗΡΘΕ Ο ΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΒΑΛΕ ΤΑΞΗ
Αναξαγόρας

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...


[σχολιασμός της βιογραφίας του Αναξαγόρα από τον Πλούταρχο]

Δευτέρα, 17 Ιανουαρίου 2011

Μνημονικός κανόνας για τον αριθμό π


Ἀεὶ ὁ Θεὸς ὁ μέγας γεωμετρεῖ, τό κύκλου μῆκος ἵνα ὁρίσῃ διαμέτρῳ, παρήγαγεν ἀριθμὸν ἀπέραντον, καὶ ὃν, φεῦ, οὐδέποτε ὃλον θνητοὶ θὰ εὕρωσι.


Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παραπάνω φράση, που την επινόησε ο Νικόλαος Χατζιδάκης (1872-1942) καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, με την οποία μπορεί να θυμάται κανείς τα πρώτα 23 ψηφία του π.
[εγκυκλοπαίδεια ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ]

Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του ιστορικού και περίφημου αριθμού
π = 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6...

Δείτε την αντιστοιχία λέξεων/ψηφίων
https://docs.google.com/Doc?id=dcmm2gjb_428dqnjf7dx

Με τη μηχανή αναζήτησης Wolfram Alpha
http://www.wolframalpha.com/
μπορείτε αυτομάτως να βρείτε όσα ψηφία του π θέλετε πληκτρολογώντας:
pi [τον αριθμό των ψηφίων που επιθυμείτε] digits


πολυτονική γραμματοσειρά του παραπάνω καθαρευουσιάνικου κειμένου είναι η GFS Artemisia.]

[Η βιογραφία του έλληνα μαθηματικού Νικόλαου Χατζιδάκη που θα βρείτε σε μορφή pdf στον υπερδεσμό, είναι "άρθρον από το περιοδικό «Ευκλείδης»,
τεύχος 7 & 8, τόμος Δ ́, έτος 1971, γραφέν υπό του
γυμνασιάρχου κ. Μ. Κασιούρα."]

Πέμπτη, 13 Ιανουαρίου 2011

Το π στη Βίβλο.




Υπάρχουν κάποιες αναφορές για το π στη Βίβλο, που χρονολογούνται γύρω στον 16ο π Χ. αιώνα (και κατ' άλλους μελετητές τον 10ο π.Χ. αιώνα). Συγκεκριμένα στην Παλαιά Διαθήκη, στο Βασιλειών Γ΄, 7:23, αναφέρεται ότι:

" και εποίησε την θάλασσαν δέκα εν πήχει από του χείλους αυτής, στρογγύλον κύκλω το αυτό πέντε εν πήχει το ύψος αυτής και συνηγμένοι τρεις και τριάκοντα εν πήχει εκύκλουν αυτήν."

Το απόσπασμα αυτό αναφέρεται στο θυσιαστήριο που είχε κατασκευασθεί στο ναό του Σολομώντα, ο οποίος είχε (σύμφωνα με την περιγραφή) περιφέρεια τριάντα πήχεις και διάμετρο δέκα πήχεις, επομένως αντιστοιχούσε σε τιμή του π ίση προς 30/3, δηλαδή ίση με 3.

Ένα σχεδόν παρόμοιο χωρίο (που επίσης παραπέμπει σε τιμή του π ίση προς 3) υπάρχει στο Παραλειπομένων Β΄, 4:2. Σίγουρα προκαλεί έκπληξη η πολύ "χοντρική" εκτίμηση για το π σε μια περίοδο που ήδη το π είχε προσεγγισθεί με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια, κάτι που προφανώς αγνοούσαν οι συγγραφείς της Βίβλου.

(Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στη διπλωματική εργασία της Παρασκευής Αρώνη, με τίτλο: 'Η ιστορία του π', για περισσότερες λεπτομέρειες. http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf )

Για την ανακρίβεια λοιπόν στην τιμή του π έχουν αναφερθεί διάφορες "εξηγήσεις", μεταξύ των "ακραίων":

" Να η απόδειξη ότι η Βίβλος είναι πλαστή"

και

" Αυτό αποδεικνύει ότι όντως το π ισούται με 3 και οι επιστήμονες μας λένε ψέματα".

(Από το βιβλίο: Η χαρά του π, του David Blatner, σε μετάφραση Γαβριήλ Μοσχόπουλου, από τις εκδόσεις "Ωκεανίδα").

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...

Σάββατο, 8 Ιανουαρίου 2011

Λίγη ιστορία του π



Το γεγονός ότι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο του κύκλου είναι σταθερός (το γνωστό μας π) πρέπει να ήταν γνωστό από αρχαιοτάτων χρόνων.

ΒΑΒΥΛΩΝΙΟΙ

Γύρω στο 2000 π.Χ., οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν για το π την προσέγγιση:
π = 25/8 ή π = 3.125

ΑΙΓΥΠΤΙΟΙ

Ο Αιγύπτιος γραφέας Αχμές (Ahmes http://en.wikipedia.org/wiki/Ahmes ), στον γνωστό ως πάπυρο του Ριντ (Rhind Mathematical Papyrus http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus), γύρω στα 1650 π.Χ.,αναφέρει ότι:

" Κόψτε το 1/9 της διαμέτρου d ενός κύκλου και κατόπιν φτιάξτε ένα τετράγωνο με πλευρά το υπόλοιπο κομμάτι (δηλαδή τα 8/9 της διαμέτρου). Τότε το τετράγωνο που σχηματίζεται έχει εμβαδόν ίσο με αυτό του κύκλου."

Σύμφωνα λοιπόν με την παραπάνω περιγραφή έχουμε:

Ε1 = π.R2 = π.d2/4
E2 = (8.d/9)2 = 64.d2/81

όπου Ε1 είναι το εμβαδόν του κύκλου και Ε2 είναι το εμβαδόν του τετραγώνου. Επομένως εξισώνοντας τα Ε1 και Ε2 και ακολούθως λύνοντας ως προς π, παίρνουμε:

π.d2/4 = 64.d2/81 , ή π = 256/81 ή ( π=3,16049...)

Συγκρίνοντας λοιπόν την τιμή αυτή με τη γνωστή σήμερα τιμή: π = 3,14159... , βλέπουμε ότι το σχετικό σφάλμα είναι περίπου 0,6% , (αξιοθαύμαστη ακρίβεια).



Rhind Mathematical Papyrus,
τμήμα του μαθηματικού παπύρου από την εγκυκλοπαίδεια,
η ψηφοποιημένη εικόνα από την  Wikipedia

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική


Συνεχίζεται...


Δευτέρα, 3 Ιανουαρίου 2011

Δηλαδή είναι πολλά τα 5.000.000.000.000 ψηφία;



Είδαμε λοιπόν ότι η χρήση 38 δεκαδικών ψηφίων του π, μας εξασφαλίζει εξαιρετική ακρίβεια, ακόμα κι' αν αναφερόμαστε σε μεγέθη που αφορούν σε ολόκληρο το Σύμπαν. Από την άλλη μεριά, όπως ήδη αναφέραμε, σήμερα (2010) είναι γνωστά τα πρώτα 5 τρισεκατομμύρια (5.1012) ψηφία του π. Για να καταλάβουμε το μέγεθος αυτό ας δούμε τα παρακάτω:


      1. Αν εκφωνούσαμε 1 ψηφίο του π ανά sec, χωρίς διακοπή, θα θέλαμε:
5.1012/(3,15.107) = 158549 χρόνια

για να απαγγείλουμε όλα τα μέχρι τώρα γνωστά ψηφία του π. ( Ένας χρόνος έχει περίπου 31.500.000 = 3,15.107 δευτερόλεπτα).


ii) Ας υποθέσουμε ότι αποφασίζουμε να καταγράψουμε όλα αυτά τα ψηφία, γράφοντας 50 ψηφία σε κάθε 10cm, (δηλαδή με πυκνότητα 5ψηφία/cm). Τότε η γραμμή που θα σχηματιζόταν θα είχε μήκος:
5.1012 /5 = 1012cm = 1010m = 107km
Αν αναλογισθούμε ότι η (μέση) απόσταση Γης – Σελήνης είναι περίπου 380000 km, καταλαβαίνουμε το τεράστιο μήκος που θα είχε αυτή η “ταινία” με τα καταγεγραμμένα ψηφία του π. (Πάνω από 26 φορές την απόσταση Γης – Σελήνης).


iii) Αν αποφασίζαμε να “αποθηκεύσουμε”τον αριθμό σ' ένα σκληρό δίσκο, αυτός θά είχε μέγεθος της τάξης των 10ΤΒ (1ΤΒ = 240 bytes). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στη σχετική ιστοσελίδα:

5 Trillion Digits of Pi - New World Record http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html.

(Οι κάτοχοι πάντως του ρεκόρ A. J. Yee και S. Kondo αναφέρουν ότι χρειάσθηκαν 8,32 ΤΒ).

iv) Αν “κατεβάζαμε” τον αριθμό σ' έναν υπολογιστή τότε μετά το πάτημα του πλήκτρου “αποθήκευση”, θάπρεπε να περιμένουμε (ανάλογα και με την ταχύτητα του μηχανήματος) πάνω από 20 μέρες μέχρι να ολοκληρωθεί η διαδικασία.

Γιάννης Φιορεντίνος
ΠΕ 04, ΜΔΕ Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική

Συνεχίζεται...